2010-2011学年江苏省连云港市高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知复数z满足zi=1+2i，则|z|=    ．

2. 难度：中等

有4种不同的蔬菜，从中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，则不同的种植方法共    种．

3. 难度：中等

已知抛物线的极坐标方程为，则此抛物线的准线极坐标方程为    ．

4. 难度：中等

已知α：x≥a，β：|x-1|＜1．若α是β的必要非充分条件，则实数a的取值范围是    ．

5. 难度：中等

已知矩阵的逆矩阵是，则a+b=    ．

6. 难度：中等

从批量较大的成品中随机抽出5件产品进行质量检验，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这5件产品中的合格品数，则随机变量X的数学期望E（X）=    ．

7. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n和为S_n，若S₃=2，S₆=18，则=    ．

8. 难度：中等

已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线为2x-y=0，则该双曲线的离心率为    ．

9. 难度：中等

已知f（x）=x³+ax²+bx+b²，当x=-1时，有极值8，则a+b=    ．

10. 难度：中等

已知，，，…，，则=    ．

11. 难度：中等

已知P为曲线C：上任一点，过点P作曲线C的切线，并与两坐标轴交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为    ．

12. 难度：中等

已知椭圆一个焦点与抛物线y²=ax焦点重合，则a=    ．

13. 难度：中等

已知f（x）=|lg（x-2）|，当a＜b时，f（a）=f（b），则a+b的取值范围为    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若三边a，b，c成等比数列，则的取值范围为    ．

15. 难度：中等

如图，在四面体ABCD中，AB=1，AC=2，AD=3，∠DAB=∠DAC=60°，∠BAC=90°，G为中线DE上一点，且DG=2GE，则AG=    ．

16. 难度：中等

若x＞y＞0，则的最小值为    ．

二、解答题

17. 难度：中等

已知矩阵，向量=．
（1）求矩阵M的特征向量；
（2）计算M⁵⁰．

18. 难度：中等

选修4-4（坐标系与参数方程）
求直线（t为参数）被曲线所截的弦长．

19. 难度：中等

甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．

20. 难度：中等

已知．
（1）求a₂的值；
（2）求展开式中系数最大的项；
（3）求的值．

21. 难度：中等

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于O，AB=4，AD=3．沿AC把△ACD折起，使二面角D₁-AC-B为直二面角．
（1）求直线AD₁与直线DC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-DD₁-C的平面角正弦值大小．

22. 难度：中等

（1）已知圆S：x²+y²=a²（a＞0），直线l₁：y=k₁x+p交圆S于C、D两点，交直线l₂：y=k₂x于E点，若k₁•k₂=-1，证明：E是CD的中点；
（2）已知椭圆，直线l₁：y=k₁x+p交椭圆T于C、D两点，交直线l₂：y=k₂x于E点，若．问E是否是CD的中点，若是，请给出证明；若不是，请说明理由．

23. 难度：中等

将正整数2，3，4，5，6，7，…，n，…作如下分类：（2），（3，4），（5，6，7），（8，9，10，11），…，分别计算各组包含的正整数的和，记为S₁，S₂，S₃，S₄，…，记T_n=S₁+S₃+S₅+…+S_2n-1．
（1）分别求T₁，T₂，T₃的值；
（2）请猜测T_n的结果，并用数学归纳法证明．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2x+alnx．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间（0，2]上恒为单调函数，求实数a的取值范围；
（3）当t≥1时，不等式f（3t-2）≥3f（t）-6恒成立，求实数a的取值范围．