2012-2013学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈Z|x²-5x+4＜0}，则∁_U（A∪B）=（ ）
A．{0，1，2，3}
B．{5}
C．{1，2，4}
D．{0，4，5}

2. 难度：中等

设f（x）=3^x+3x-8，用二分法求方程3^x+3x-8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（ ）
A．（1，1.25）
B．（1.25，1.5）
C．（1.5，2）
D．不能确定

3. 难度：中等

若与向量v=（1，1）平行的直线l与圆x²+y²=1交于A、B两点，则|AB|最大值为（ ）
A．2
B．2
C．4
D．4

4. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A．6+8
B．12+8
C．12+7
D．18+2

5. 难度：中等

若实数x、y满足，则Z=的取值范围为（ ）
A．（-∞，-4]∪[，+∞）
B．（-∞，-2]∪[，+∞）
C．[-2，]
D．[-4，]

6. 难度：中等

在△ABC中，AB=3，AC=2，=，则•的值为（ ）
A．-
B．
C．-
D．

7. 难度：中等

已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：
①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；
③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；
④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①④
B．②③
C．②④
D．①③

8. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|ϕ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（ ）
A．向右平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向左平移个长度单位

9. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3^x+m（m为常数），则f（-log₃5）的值为（ ）
A．4
B．-4
C．6
D．-6

10. 难度：中等

已知第一象限的点（a，b）在直线2x+3y-1=0上，则代数式+的最小值为（ ）
A．24
B．25
C．26
D．27

11. 难度：中等

设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

方程+=-1的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：
①f（x）在R上单调递减；
②函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点；
③函数y=f（x）的值域是R；
④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程+=1确定的曲线．
其中所有正确的命题序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③④
D．①②③

二、填空题

13. 难度：中等

若不等式|ax-2|＜6的解集为（-1，2），则实数a等于    ．

14. 难度：中等

由曲线y=3-x²和y=2x围成图形的面积为    ．

15. 难度：中等

设F是抛物线C₁：y²=4x的焦点，点A是抛物线与双曲线C₂：的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为    ．

16. 难度：中等

设直线nx+（n+1）y=（n∈N^*）与两坐标轴围成的三角形的面积为S_n，则S₁+S₂+…+S₂₀₁₂的值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（π-ωx）-sin（-ωx）（ω＞0）的图象上两相邻最高点的坐标分别为（，2）和（，2）
（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，求的取值范围．

18. 难度：中等

设函数f（x）=ax+b，（其中a≠0）若f（3）=5，且f（1），f（2），f（5）成等比数列．
（1）求f（n）；
（2）令b_n=f（n）•2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

如图，正方形ABCD的边长为2，将四条边对应的第腰三角形折起构成一个正四棱锥P-ABCD．
（1）当Q为PC为中点时，证明PA∥平面BDQ；
（2）当等腰三角形的腰长为多少时，异面直线PA与BC所成的角为60°；
（3）当侧棱与底面所成的角为60°时，求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值．

20. 难度：中等

某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连，经预算，转盘上的每个座位与支点相连钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[2+]k元，假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元．
（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当k=50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低．

21. 难度：中等

设函数f（x）=（x＞0且x≠1）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）已知ln2＞alnx对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x-y+b=0是抛物线y²=4x的一条切线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点S（0，）的动直线L交椭圆C于A、B两点．问：是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求点T坐标；若不存在，说明理由．