2012-2013学年浙江省温州市苍南县求知中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|1＜x＜4}，B={x|x²-2x-3≤0}，则A∪B=（ ）
A．[-1，3]
B．[-1，4）
C．（1，3]
D．（1，4）

2. 难度：中等

若a，b＞0，则“a＞b“是“a³+b³＞a²b+ab²的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分且必要条件
D．既非充分也非必要条件

3. 难度：中等

若某程序框图如图所示，则输出的P的值是（ ）

A．22
B．27
C．31
D．56

4. 难度：中等

已知A，B是两个不同的点，m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列4个命题：
①若m∩n=A，A∈α，B∈m，则B∈α；
②若m⊂α，A∈m，则A∈α；
③若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；
④若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β，
其中真命题为（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

5. 难度：中等

函数的图象向左平移个单位，所得的图形对应的函数是（ ）
A．偶函数，值域为[0，1]
B．奇函数，值域为[0，2]
C．偶函数，值域为[0，2]
D．奇函数，值域为[0，1]

6. 难度：中等

已知x，y∈R，且满足，则x²+y²-6x的最小值等于（ ）
A．-
B．-4
C．0
D．-1

7. 难度：中等

如图所示是某个区域的街道示意图（每个小矩形的边表示街道），则从A到B的最短线路有（ ）条．

A．24
B．60
C．84
D．120

8. 难度：中等

过双曲线M：x²-=1的左顶点A作斜率为2的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且=2，则双曲线M的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）是周期为3的奇函数，f（）=0，当x∈（0，）时，f（x）=sinπx，则函数f（x）在区间[0，5]上的零点个数为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6

10. 难度：中等

设函数f（x）=x²+bx+c（x∈R）且f′（x）+f（x）＞0恒成立，则对∀a∈（0，+∞），下面不等式恒成立的是（ ）
A．f（-a）＜e^af（0）
B．f（-a）＞e^af（0）
C．f（a）＜e^af（0）
D．f（a）＞e^af（0）

二、填空题

11. 难度：中等

复数z₁=3+i，z₂=1-i，则复数在复平面内对应的点位于第    象限．

12. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是    cm³．

13. 难度：中等

若（-）ⁿ展开式中二项式系数之和是1024，常数项为180，则实数a的值是    ．

14. 难度：中等

有一种游戏规则如下：口袋里共装有4个红球和4个黄球，一次摸出4个，若颜色都相同，则得100分；若有3个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是    ．

15. 难度：中等

已知非零向量，满足丨-|=|+|=λ||（λ≥2），则向量+与-的夹角的最小值为    ．

16. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点作一条倾斜角为 α，长度不超过8的弦，弦所在的直线与圆有公共点，则 α的取值范围是    ．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2013x+6030+|x²-2013x+6030|，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）=    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在锐角△ABC中，a，b，c，分别是内角A，B，C所对边长，且cos2B-cos2A=2sin（+B）sin（-B）．
（1）求角A的大小；
（2）若•=12，a=2，求b，c（b＜c）．

19. 难度：中等

已知三个正整数2a，1，a²+3按某种顺序排列成等差数列．
（1）求a的值；
（2）若等差数列{a_n}的首项、公差都为a，等比数列{b_n}的首项、公比也都为a，前n项和分别为S_n，T_n，且＞S_n-130，求满足条件的正整数n的最大值．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=PB=BC．
（Ⅰ）若E是PC的中点，证明：PD⊥平面ABE；
（Ⅱ）试在线段PC上确定一点E，使二面角P-AB-E的大小为，并说明理由．

21. 难度：中等

已知点M是圆C：x²+y²=2上的一点，且MH⊥x轴，H为垂足，点N满足NH=MH，记动点N的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的最大值．

22. 难度：中等

已知函数
（1）f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；
（2）当m=-1时，求函数f（x）的最大值；
（3）当m=1时，且1≥a＞b≥0，证明：．