2011-2012学年湖北省天门中学高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={（x，y）|x+y=0}，B={（x，y）|y=a^x}，则A∩B的子集个数是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8

2. 难度：中等

已知函数f（x）= 若f（2-x²）＞f（x），则实数x的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）∪（2，+∞）
B．（-∞，-2）∪（1，+∞）
C．（-1，2）
D．（-2，1）

3. 难度：中等

已知M是曲线上的任一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均不小于的锐角，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，+∞）
B．[4，+∞）
C．（-∞，2]
D．（-∞，4]

4. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_2n=4（a₁+a₃+…+a_2n-1），a₁a₂a₃=27，则a₆=（ ）
A．27
B．81
C．243
D．729

5. 难度：中等

已知，，那么sinα+cosα的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设{a_n}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6

7. 难度：中等

若0＜α＜β＜，sinα+cosα=a，sinβ+cosβ=b，则（ ）
A．a＜b
B．a＞b
C．ab＜1
D．ab＞2

8. 难度：中等

设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则ab的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若在直线l上存在不同的三个点A，B，C，使得关于实数的方程有解（点O不在l上），则此方程的解集为（ ）
A．{-1}
B．{0}
C．
D．{-1，0}

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3x²+1，g（x）=，则方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）的根的个数不可能 为（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个

二、填空题

11. 难度：中等

已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=（，-1），=（cosA，sinA）．若⊥，且acosB+bcosA=csinC，则角B=    ．

12. 难度：中等

下表结出一个“直角三角形数阵”



…
满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为a_ij（i≥j，i，j∈N⁺），则a₈₃等于    ．

13. 难度：中等

设，，为三个非零向量，，||=1，||=2，则||+||的最大值是    ．

14. 难度：中等

已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-1）图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，不等式f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x²+y²的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知函数，，设F（x）=f（x+3）•g（x-3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b-a的最小值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量a=（1+cos（2x+φ），1），b=（1，a+sin（2x+φ））（φ为常数且-＜φ＜），函数f（x）=a•b在R上的最大值为2．
（1）求实数a的值；
（2）把函数y=f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y=2sin2x的图象，求函数y=f（x）的解析式及其单调增区间．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}满足条件：a₁=t，a_n+1=2a_n+1．
（I）判断数列{a_n+1}是否为等比数列；
（Ⅱ）若．
证明：
（i）；
（ii）T_n＜1．

18. 难度：中等

如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB=α，α的最大值为60°．
（1）求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；
（2）求塔的高AB．

19. 难度：中等

已知函数g（x）=+lnx在[1，+∞）上为增函数，其中θ∈（0，π），
（1）求θ的取值集合；
（2）f（x）=mx--lnx（m∈R），若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围．

20. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+2ⁿ+1（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n-2ⁿ}为等差数列；
（2）设数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+1-n），若…对一切n∈N^*且n≥2恒成立，求实数k的取值范围．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x（x-1）²，x＞0．
（1）求f（x）的极值；
（2）设函数g（x）=lnx-2x²+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值；
（3）讨论方程的解的个数，并说明理由．