2012-2013学年湖南省株洲二中高三（下）第十一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=a+bi（a，b∈R）的虚部记作Im（z），则Im=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₂=4，a₆=8，则{a_n}的前7项和S₇值为（ ）
A．42
B．84
C．21
D．28

3. 难度：中等

图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A₁，A₂，…，A₁₄．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（ ）

A．7
B．8
C．9
D．10

4. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．64
B．72
C．80
D．112

5. 难度：中等

若函数f（x）的导函数f′（x）=x²-4x+3，则使得函数f（x-1）单调递减的一个充分不必要条件是x∈（ ）
A．[0，1]
B．[3，5]
C．[2，3]
D．[2，4]

6. 难度：中等

已知向量，，其中，若，则sinθ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为cm的圆面，中间有边长为cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴整体（油滴是直径为0.2cm的球）正好落入孔中的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数（t∈R），设a＜b，，若函数f（x）+x+a-b有四个零点，则b-a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，△ABC的外角平分线AD交外接圆于D，BD=4，则CD=    ．

10. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点、极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则直线l被曲线C截得的线段长是    ．

11. 难度：中等

已知关于x的不等式对于任意的x∈[-1，2]恒成立，则m的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知集合M={x||2x-1|＜1}，N={x|3^x＞1}，则M∩N=    ．

13. 难度：中等

定义运算：，则=    ．

14. 难度：中等

椭圆（a₁＞b＞0）与双曲线的离心率分别为e₁，e₂，若以a₁，a₂、b为边长可构成直角三角形（其中a₁为斜边），则e₁•e₂的值为    ．

15. 难度：中等

记实数x₁，x₂，…，x_n中的最大数为max{x₁，x₂，…，x_n}，最小数为min{x₁，x₂，…，x_n}．设△ABC的三边边长分别为a，b，c，且a≤b≤c，定义△ABC的倾斜度为，．
（ⅰ）若△ABC为等腰三角形，则t=    ；
（ⅱ）设a=1，则t的取值范围是    ．

16. 难度：中等

我们称正整数n为“好数”，如果n的二进制表示中1的个数多于0的个数．如6=（110）₂为好数；1984=（11111000000）₂不为好数．则：
（1）二进制表示中恰有5位数码的好数共有    个；
（2）不超过2013的好数共有    个．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量，．
（1）设函数，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，对于（1）中的函数f（x），求的取值范围．

18. 难度：中等

不透明的袋中有8张大小和形状完全相同的卡片，卡片上分别写有1，1，2，2，3，3，x，y，现 从中任取3张卡片，假设每张卡片被取出的可能性相同．
（1）求取出的三张卡片中至少有一张字母卡片的概率；
（2）设ξ表示三张卡片上的数字之和．当三张卡片中含有字母时，则约定：有一个字母和二个相同数字时，ξ为这二个数字之和；否则ξ=0．求ξ的分布列和期望Eξ．

19. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=BC₁=2，∠AA₁C₁=60°，平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，AC₁与A₁C相交于点D．
（1）求证：BD⊥平面AA₁C₁C；
（2）求二面角C₁-AB-C的余弦值．

20. 难度：中等

某校有教职员工150人．为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室．假设每位教职员工都会参加其中的一项活动，且第一天去健身房锻炼的人数为m．据调查统计，每次去健身房的人有20%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有30%下次去健身房．记第n天去健身房的人数为a_n．
（1）若m=80，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若10天之内去健身房锻炼的超过850人次，求m的取值范围．

21. 难度：中等

设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，线段OF₁、OF₂的中点分别为B₁、B₂，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．过B₁作直线l交椭圆于P、Q两点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若PB₂⊥QB₂，求直线l的方程；
（3）设直线l与圆O：x²+y²=8相交于M、N两点，令|MN|的长度为t，若t∈[4，]，求△B₂PQ的面积S的取值范围．

22. 难度：中等

对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．设函数f（x）的定义域为R⁺，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2ⁿ）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在区间[1，2ⁿ）（n∈N*）上的最大值与最小值；
（3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①f（2^-n）与2^-n+2（n∈N*）；
②f（x）与2x+2（x∈（0，1]）．