2012-2013学年湖北省襄阳四中、龙泉中学、荆州中学联考高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

双曲线x²-4y²=-1的渐近线方程为（ ）
A．x±2y=0
B．2x±y=0
C．x±4y=0
D．4x±y=0

2. 难度：中等

设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
B．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m

3. 难度：中等

下列命题中正确的是（ ）
A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题
B．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“∀x∈R，2^x＞0”的否定是“”

4. 难度：中等

已知双曲线的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知P是△ABC所在平面外一点，D是PC的中点，若，则x+y+z=（ ）
A．-1
B．0
C．
D．1

6. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则此时B、D的距离是 （ ）
A．2或
B．2或
C．2
D．1或

7. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x=-2的距离之和等于6，则这样的直线（ ）
A．有且仅有一条
B．有且仅有两条
C．有无穷多条
D．不存在

8. 难度：中等

已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是（ ）
A．96
B．16
C．24
D．48

9. 难度：中等

如图是函数f（x）=x²+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（ ）
A．（）
B．（1，2）
C．（，1）
D．（2，3）

10. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC′|=2的点P的个数为（ ）

A．4
B．6
C．8
D．12

二、填空题

11. 难度：中等

已知向量=（1，1，0），=（-1，0，2），且k+与2互相垂直，则k值是    ．

12. 难度：中等

已知命题“∀x∈R，x²-5x+a＞0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

曲线y=cosx-1在（，0）处的切线方程为    ．

14. 难度：中等

直线与抛物线y²=4x相交于A、B两点，与x轴相交于点F，若，则=    ．

15. 难度：中等

已知正△ABC的顶点A在平面α内，顶点B，C在平面α的同一侧，D为BC的中点，若△ABC在平面α内的射影是以A为直角顶点的三角形，则直线AD与平面α所成角的正弦值的最小值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，在四面体ABCD中，平面EFGH分别平行于棱CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求证：四边形EFGH是矩形．
（2）设，问λ为何值时，四边形EFGH的面积最大？

17. 难度：中等

如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点．
（Ⅰ）求证：DM⊥EB；
（Ⅱ）求二面角M-BD-A的余弦值．

18. 难度：中等

如图，已知抛物线C：y²=2px和⊙M：（x-4）²+y²=1，过抛物线C上一点H（x，y）作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为． 
（1）求抛物线C的方程；
（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率．

19. 难度：中等

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．
（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；
（Ⅱ）求面积S的最大值．

20. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，以AB弦为直径的圆过坐标原点O，试探讨点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围；
（3）当x＞y＞e-1时，求证：．