2012-2013学年浙江省温州市瑞安中学高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²-x+a≤0}且1∈A，则实数a的取值范围是（ ）
A．[1，+∞）
B．（-∞，1]
C．[0，+∞）
D．（-∞，0]

2. 难度：中等

已知，且，则tanφ=（ ）
A．
B．
C．-
D．

3. 难度：中等

已知a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a²＜ab
B．
C．|a|＜|b|
D．

4. 难度：中等

已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

若直线mx+ny=4和圆：x²+y²=4没有公共点，则过点（m，n）直线与椭圆的交点的个数（ ）
A．0 个
B．1个
C．2 个
D．3个

6. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（ ）
A．-5
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

若曲线C：x²+y²+2ax-4ay+5a²-4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为（ ）
A．（-∞，-2）
B．（-∞，-1）
C．（1，+∞）
D．（2，+∞）

8. 难度：中等

等差数列{a_n}中有两项a_m和a_k满足（其中m，k∈N^*，且m≠k），则该数列前mk项之和是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

定义运算：，将函数f（x）=的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈（-1，1]时f（x）=1-x²，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，10]内零点的个数为（ ）
A．12
B．14
C．13
D．8

二、填空题

11. 难度：中等

点P（x，y）在直线x+3y-2=0上移动时，则3^x+27^y最小值是    ．

12. 难度：中等

f（x）=x³-3ax+2在区间（-2，2）上是减函数，则a取值范围是    ．

13. 难度：中等

F是双曲线的一个焦点，过F且与一条渐近线平行的直线l与双曲线交于点M，与另外一条渐近线交于点N，若，则双曲线离心率为    ．

14. 难度：中等

如图：某地举行烟花燃放表演，观众席设置在地面线段OA，OB处．烟花燃放点在地面C处，现测得∠CBO=30°，∠BOC=∠OAC=45°，CO=50米，若点A，B离点C的距离相等，则OA的长度等于    米．

15. 难度：中等

已知抛物线x²=2y，从P（1，-1）向抛物线作两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB方程为    ．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a_n=n（n∈N₊），把它的各项依次排列如图所示的三角形状，第一行1项，第二行3项，…第一行 a₁
每行依次比上一行多两项，第二行 a₂，a₃，a₄，若a₂₀₁₂被排在第S行第t项（从左往右）的位置，第三行 a₅，a₆，a₇，a₈，a₉
则S=    t=    ．…

17. 难度：中等

椭圆+=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于两点P，Q，以PQ为直径的圆过原点O，则=    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知向量，且A，B，C分别是△ABC三边a，b，c所对的角．
（1）求∠C的大小；
（2）若sinA，sinC，sinB成等比数列，且，求c的值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，点（a_n，S_n）在曲线（x+1）²=4y上，
（1）求{a_n}通项公式．
（2）设数列{b_n}满足，求证：{b_n-1}为等比数列，并求{b_n}的通项．
（3）在（2）条件下，，求数列{c_n}前n项和T_n．

20. 难度：中等

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2BC=2，且AC⊥CB，O为线段AC的中点．
（Ⅰ）在BC₁上确定一点E，使得OE∥平面A₁ABB₁，并说明理由；
（Ⅱ）求直线BC₁与平面A₁BC所成角的正切值．

21. 难度：中等

已知f（x）=，g（x）=-+2ex-tlnx-，t为实常数，
（1）比较与ln大小．
（2）求f（x）在区间[1，a]（a＞1的常数）上最大值．
（3）当x∈[1，2]时，不等式g（x）≤t[λ-xf（x）]对于λ∈[1，+∞）恒成立，求t取值范围．

22. 难度：中等

已知椭圆，离心率为，F₁，F₂分别为其左右焦点，椭圆上点P到F₁与F₂距离之和为4，
（1）求椭圆C₁方程．
（2）若一动圆过F₂且与直线x=-1相切，求动圆圆心轨迹C方程．
（3）在（2）轨迹C上有两点M，N，椭圆C₁上有两点P，Q，满足与共线，与共线，且=0，求四边形PMQN面积最小值．