2013-2014学年江苏省南京市高淳县湖滨高级中学高二（上）9月月考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合P={-1，0，2，4}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=    ．

2. 难度：中等

函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则ω=    ．

3. 难度：中等

求值：sin（-870°）=    ．

4. 难度：中等

函数y=a^x-2+1（a＞0，且a≠1）的图象经过一个定点，则该定点的坐标是    ．

5. 难度：中等

在△ABC中，若b²+c²-a²=bc，则A=    ．

6. 难度：中等

函数f（x）=log₂x-的零点个数为    ．

7. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，其前n项和为S_n，若a₃=6，S₃=12，则公差d=    ．

8. 难度：中等

设x∈R，向量，且，则=    ．

9. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，若三条直线2x+y-5=0，x-y-1=0和ax+y-3=0相交于一点，则实数a的值为    ．

10. 难度：中等

设sin（+θ）=，则sin2θ=    ．

11. 难度：中等

若数列{a_n}满a₁=1，=，a₈=    ．

12. 难度：中等

已知正三角形ABC的边长为2，沿着BC边上的高AD将正三角形折起，使得平面ABD⊥平面ACD（如图），则三棱锥A-BCD的体积为    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，给出下列结论：
①A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；
②若==，△ABC为等边三角形；
③必存在A，B，C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；
④若a=40，b=20，B=25°，△ABC必有两解．
其中，结论正确的编号为    （写出所有正确结论的编号）．

14. 难度：中等

已知等比数{a_n}，a₁=1，a₄=8，在a_n与a_n+1两项之间依次插入2^n-1个正整数，得到数列{b_n}，即a₁，1，a₂，2，3，a₃，4，5，6，7，a₄，8，9，10，11，12，13，14，15，a₅，…则数列{b_n}的前2013项之和S₂₀₁₃=    （用数字作答）．

二、解答题

15. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，已知点A（-2，1），直线l：2x-y-3=0．
（1）若直线m过点A，且与直线l垂直，求直线m的方程；
（2）若直线n与直线l平行，且在x轴、y轴上的截距之和为3，求直线n的方程．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈[0，π]．
（1）求f（x）的最大值，并指出取得该最大值时x的值；
（2）求f（x）的单调减区间．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点，AC与BD的交点为O．求证：
（1）直线OE∥平面PBC；
（2）平面ACE⊥平面PBD．

18. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=9n-n²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（n∈N⁺），数列{b_n}的前n项和为T_n，若对任意的n∈N⁺，均有T_n＞，求m的取值范围．

19. 难度：中等

某厂生产A产品的年固定成本为250万元，若A产品的年产量为x万件，则需另投入成本C（x）（万元）．已知A产品年产量不超过80万件时，C（x）=x²+10x；A产品年产量大于80万件时，C（x）=51x+-1450．因设备限制，A产品年产量不超过200万件．现已知A产品的售价为50元/件，且年内生产的A产品能全部销售完．设该厂生产A产品的年利润为L（万元）．
（1）写出L关于x的函数解析式L（x）；
（2）当年产量为多少时，该厂生产A产品所获的利润最大？

20. 难度：中等

已知f（x）=若x＞0，且点A（x，f（x））关于坐标原点的对称点也在f（x）的图象上，则称x为f（x）的一个“靓点”．
（1）当a=b=c=0时，求f（x）的“靓点”；
（2）当a=0且b=1时，若f（x）在（0，1）上有且只有一个“靓点”，求c的取值范围；
（3）当c=a+1且b=0时，若f（x）恒有“靓点”，求a的取值范围．