2004-2005学年北京市宣武区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|x＜-2或x＞1}，B={x|-1≤x＜0}，则A∪（∁_UB）=（ ）
A．{x|x＜-2或x＞1}
B．{x|x≤-1或x＞0}
C．{x|x＜-1或x≥0}
D．{x|x＜-1或x＞0}

2. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．m、n是直线，α是平面，若m∥α，n∥α，则m∥n
B．设α-l-β是直二面角，若直线m⊥l，则m⊥β
C．若直线m，n在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m⊥n，则n⊂α或n∥α
D．设m、n是异面直线，若m∥平面α，则n∩α=A

3. 难度：中等

已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≠0
B．0≤k＜4
C．0≤k≤4
D．0＜k＜4

4. 难度：中等

函数f（x）=（x∈R，且x≠1）的单调递增区间是（ ）
A．（-∞，0）和（2，+∞）
B．（-∞，0）
C．（-∞，）和（，+∞）
D．（2，+∞）

5. 难度：中等

函数的图象与其反函数的图象（ ）
A．没有交点
B．有交点（0，0）
C．有交点（0，0）、（1，1）
D．有交点（0，0）、（-1，-1）

6. 难度：中等

某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全，至少要（ ）
A．3360元
B．6720元
C．4320元
D．8640元

7. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，则a₁²+a₂²+…+a_n²=（ ）
A．（2ⁿ-1）²
B．
C．4ⁿ-1
D．

8. 难度：中等

已知实数x，y满足，则x+y的最小值是（ ）
A．-1
B．1
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

设、、是三个向量，以下命题中真命题的序号是    ．
①若=，且≠0，则=；
②若=0，则=0或=0；
③若、、互不共线，则=；
④（3+2）•（3-2）=9||²-4||²．

10. 难度：中等

知0＜a＜1，则方程a^|x|=|log_ax|的实根个数是    ．

11. 难度：中等

已知函数在区间[-π，π]内的大致图象是图    ，最小正周期为    ．

12. 难度：中等

设x，y满足约束条件：，则当xy=    时，z=2x+y取最大值    ．

13. 难度：中等

已知命题p：方程x²-mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x²+4（m-2）x+m²=0无实数根；若“p或q”为真，“p且q”为假，则下列结论：
（1）p、q都为真；
（2）p、q都为假；
（3）p、q一真一假；
（4）p、q中至少有一个为真；
（5）p、q至少有一个为假．
其中正确结论的序号是    ，m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知l₁是过原点O，且与向量=（2，-λ）垂直的直线，l₂是过定点A（0，2），且与向量=平行的直线，则l₁与l₂交点P的轨迹方程是    ，轨迹是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，求cos（β-γ）的值．

16. 难度：中等

某车间有5名工人独立的工作．已知每个工人在1小时内需要电力的概率均为0.2．求：
（1）在同一时刻有3个工人需要电力的概率；
（2）在同一时刻至少有4个工人需要电力的概率；
（3）在同一时刻至多有3个工人需要电力的概率．

17. 难度：中等

解关于x的不等式：．

18. 难度：中等

如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，顶点B₁在底面ABC上的射影D在AB上．
（1）求证：侧面ABB₁A₁⊥底面ABC；
（2）证明：B₁C⊥C₁A；
（3）求二面角B₁-BC-A的大小．

19. 难度：中等

已知曲线C：y=-x²+x+2关于点M（a，2a）对称的曲线为Cn，且曲线C与Cn有两个不同的交点A、B，设直线AB的斜率为k，求k的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}中，前n项和S_n满足：
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若，S_n′为数列{b_n}的前n项和，求证：S_n′＜2．