2011-2012学年广东省广州六中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，复数z=的虚部是（ ）
A．-i
B．-1
C．1
D．2

2. 难度：中等

设集合P={3，log₂a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（ ）
A．{3，0}
B．{3，0，1}
C．{3，0，2}
D．{3，0，1，2}

3. 难度：中等

设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若点P（1，1）为圆（x-3）²+y²=9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（ ）
A．2x+y-3=0
B．x-2y+1=0
C．x+2y-3=0
D．2x-y-1=0

5. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（ ）
A．-e
B．-1
C．1
D．e

6. 难度：中等

已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a_n}是等差数列，a₃＞0，则f（a₁）+f（a₃）+f（a₅）的值（ ）
A．恒为正数
B．恒为负数
C．恒为0
D．可正可负

7. 难度：中等

已知一组正数x₁，x₂，x₃，x₄的方差为，则数据x₁+2，x₂+2，x₃+2，x₄+2的平均数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6

8. 难度：中等

公因数只有1的两个数，叫做互质数．例如：2与7互质，1与4互质．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列α₁•α₂•α₃•α₄•α₅•α₆•α₇中，使相邻两数都互质的不同排列方式共有（ ）种．
A．576
B．720
C．864
D．1152

二、填空题

9. 难度：中等

设的最小值是    ．

10. 难度：中等

执行右边的程序框图，则输出的结果是    ．

11. 难度：中等

已知x，y满足，则的最大值是    ．

12. 难度：中等

设F₁，F₂分别是椭圆+=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF₁|的最大值为    ．

13. 难度：中等

给出下列命题：
①的展开式中的常数项是20；
②函数y=sinx（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是；
③若ξ～N（1，σ²），且P（0≤ξ≤1）=0.3，则P（ξ≥2）=0.2．
其中真命题的序号是    （写出所有正确命题的编号）．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题） 已知直线的极坐标方程为，则点A到这条直线的距离为    ．

15. 难度：中等

如图，点P在圆O的直径AB的延长线上，且PB=BO=2，PC切圆O于C，CD⊥AB于D点，则CD=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C所对边长分别为a，b，c，∠BAC=θ，b²+c²=32，a=4．
（1）求b•c的最大值及θ的取值范围；
（2）求函数的最值．

17. 难度：中等

甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关．甲能攻克的概率为，乙能攻克的概率为，丙能攻克的概率为．
（1）求这一技术难题被攻克的概率；
（2）若该技术难题末被攻克，上级不做任何奖励；若该技术难题被攻克，上级会奖励a万元．奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金a万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得万元．设甲得到的奖金数为X，求X的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=4，PA=3，点A在PD上的射影为点G，点E在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（1）求证：AG∥平面PEC；
（2）求AE的长；
（3）求二面角E-PC-A的正弦值．

19. 难度：中等

把正奇数数列{2n-1}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：
    1
  3    5
7    9   11
…
…
设a_mn（m，n∈N^*）是位于这个三角形数表中从上往下数第m行、从左往右数第n个数．
（1）若a_mn=2011，求m，n的值；
（2）若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为b_n，求证+++…+．

20. 难度：中等

已知平面上的线段l及点P，在l上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）．
（1）已知P（1，1），线段l：x-y-3=0（3≤x≤5），求d（P，l）；
（2）设A（-1，0），B（1，0），求点集D={P|d（P，AB）≤1}所表示图形的面积；
（3）若M（0，1），O（0，0），N（2，0），画出集合Ω={P|d（P，MO）=d（P，NO）}所表示的图形．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-ax²+（2-a）x．
（I）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（-x）；
（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x，证明：f′（x）＜0．