2011-2012学年湖北省襄阳四中、荆州中学、龙泉中学联考高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（ ）
A．演绎推理
B．类比推理
C．合情推理
D．归纳推理

2. 难度：中等

设两个正态分布和的密度曲线如图所示，则有（ ）
A．μ₁＜μ₂，σ₁＜σ₂
B．μ₁＜μ₂，σ₁＞σ₂
C．μ₁＞μ₂，σ₁＜σ₂
D．μ₁＞μ₂，σ₁＞σ₂

3. 难度：中等

为防止某种疾病，今研制一种新的预防药．任选取100只小白鼠作试验，得到如下的列联表：

	患病	未患病	总计
服用药	15	40	55
没服用药	20	25	45
总计	35	65	100

参考数据：

P（ K^2≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²的观测值为3.2079，则在犯错误的概率不超过（ ）的前提下认为“药物对防止某种疾病有效”．
A．0.025
B．0.10
C．0.01
D．0.005

4. 难度：中等

若点P在椭圆上，F₁、F₂分别是椭圆的两焦点，且∠F₁PF₂=90°，则△F₁PF₂的面积是（ ）
A．2
B．1
C．
D．

5. 难度：中等

已知双曲线与抛物线y²=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．x±2y=0
D．2x±y=0

6. 难度：中等

如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）
A．48
B．18
C．24
D．36

7. 难度：中等

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，，AB=AC=A₁A=1，已知G与E分别是棱A₁B₁和CC₁的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（ ）

A．[，1）
B．[，2）
C．[1，）
D．[，）

8. 难度：中等

设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中x³的系数为（ ）
A．-150
B．150
C．-500
D．500

9. 难度：中等

给出下列命题：
①已知椭圆=1两焦点F₁，F₂，则椭圆上存在六个不同点M，使得△F₁MF₂为直角三角形；
②已知直线l过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
③若过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作它的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则|OM|=a；
④根据气象记录，知道荆门和襄阳两地一年中雨天所占的概率分别为20%和18%，两地同时下雨的概率为12%，则荆门为雨天时，襄阳也为雨天的概率是60%．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①③④
B．①②③
C．③④
D．①②④

10. 难度：中等

已知函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（3^0.3）•f（3^0.3），b=（log_π3）•f（log_π3），，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞b＞a
C．c＞b＞a
D．a＞c＞b

二、填空题

11. 难度：中等

命题“存在x∈R，使x²+1＜0”的否定是    ．

12. 难度：中等

由数字1，2，3，…9组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“156”）或严格递减（如“421”）顺序排列的数的个数是    ．

13. 难度：中等

某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内发生的概率为1%，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交保险金为    元．（用含a的代数式表示）

14. 难度：中等

若的展开式中x⁹的系数为的值为    ．

15. 难度：中等

从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出m-1个白球，1个黑球，共有，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：=    ．（1≤k＜m≤n，k，m，m∈N）．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点．
（1）求证：平面BED⊥平面SAB；
（2）求直线SA与平面BED所成角的大小．

17. 难度：中等

已知点P是圆F₁：（x+1）²+y²=8上任意一点，点F₂与点F₁关于原点对称．线段PF₂的中垂线m分别与PF₁、PF₂交于M、N两点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）斜率为1的直线l与曲线C交于A，B两点，若=0（O为坐标原点），求直线l的方程．

18. 难度：中等

为备战2012奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3；
乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5．
（1）画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；（用茎表示成绩的整数部分，用叶表示成绩的小数部分）
（2）现要从中选派一人参加奥运会，从平均成绩和发挥稳定性角度考虑，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由．
（3）若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值Eξ．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2alnx．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知抛物线y²=4x，过点M（0，2）的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x交于点C．
（1）求证：|MA|，|MC|、|MB|成等比数列；
（2）设，，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2|lnx-1|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）证明：对任意x∈[1，+∞），lnx≥恒成立；
（3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函数f（x）图象上存在点M（x，y）（其中x∈（x₁，x₂））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x=时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．