2012-2013学年河北省衡水市冀州市高三（上）期中数学试卷A（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列函数中，与函数定义域相同的函数为（ ）
A．y=
B．y=
C．y=
D．y=xe^x

2. 难度：中等

已知i为虚数单位，a为实数，复数z=（a-2i）（1+i）在复平面内对应的点为M，则“a=1”是“点M在第四象限”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．∃x∈R，e≤0
B．∀x∈R，2^x＞x²
C．a=b=0的充要条件是=-1
D．若x，y∈R，且x+y＞2，则x，y至少有一个大于1

4. 难度：中等

已知函数y=log_a（x-1）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则sin²α-sin2α的值等于（ ）
A．
B．
C．-
D．-

5. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（ ）
A．向右平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向左平移个长度单位

6. 难度：中等

如果函数是奇函数，则函数y=f（x）的值域是（ ）
A．[-1，1]
B．（-1，1]
C．（-1，1]
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

7. 难度：中等

在如图程序框图中，已知：f（x）=xe^x，则输出的是（ ）
A．2009e^x+xe^x
B．2008e^x+xe^x
C．2007e^x+xe^x
D．2008e^x+

8. 难度：中等

若方程xlg（x+2）=1的实根在区间（k，k+1）（k∈z）上，则 k=（ ）
A．-2
B．1
C．-2或1
D．0

9. 难度：中等

已知向量，且，则向量等于（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数，若函数h（x）=f（x+α）的图象关于点对称，且α∈（0，π），则α=（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知钝角三角形ABC的最长边的长为2，其余两边长为a，b则集合P={（x，y）|x=a，y=b}所表示的平面图形的面积是（ ）
A．2
B．4
C．π-2
D．4π-2

12. 难度：中等

方程=k（k＞0）有且仅有两个不同的实数解θ，φ（θ＞φ），则以下有关两根关系的结论正确的是（ ）
A．sinφ=φcosθ
B．sinφ=-φcosθ
C．cosφ=θsinθ
D．sinθ=-θsinφ

二、填空题

13. 难度：中等

函数f（x）=的定义域为    ．

14. 难度：中等

记等比数列{a_n}的前n项积为，已知a_m-1a_m+1-2a_m=0，且T_2m-1=128，则m=    ．

15. 难度：中等

如图，由两条曲线y=-x²，4y=-x²及直线y=-1所围成的图形的面积为    ．

16. 难度：中等

已知函数若函数g（x）=f（x）-k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在直角三角形ABC中，D是斜边BC上的一点，AB=AD，∠CAD=α，∠ABC=β，
（1）求sinα+cos2β的值；
（2）若AC=DC，求β的值．

18. 难度：中等

已知各项都不相等的等差数列{a_n}的前六项和为60，且a₆为a₁和a₂₁的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）若数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），且b₁=3，求数列的前n项T_n．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3ax+2（其中a为常数）有极大值18．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）过原点的切线与函数g（x）=b-lnx的图象有两个交点，试求b的取值范围．

四、填空题

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，已知点A（-1，1），P是动点，且△POA的三边所在直线的斜率满足k_OP+k_OA=k_PA
（1）求点P的轨迹C的方程
（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且=λ，直线OP与QA交于点M．
问：是否存在点P，使得△PQA和△PAM的面积满足S_△PQA=2S_△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞-成立．

五、解答题

22. 难度：中等

如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．
（Ⅰ）证明：CD∥AB；
（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．

23. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为．
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|．
（1）证明：-3≤f（x）≤3；
（2）求不等式f（x）≥x²-8x+15的解集．