2012-2013学年重庆市南开中学高三（上）1月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知，若，则k=（ ）
A．
B．-
C．6
D．-6

2. 难度：中等

已知A={1，2，3}，B={2，3，4，5}，D={（x，y）|x∈A∩B，y∈A∪B}，则D中所含元素个数为（ ）
A．8
B．10
C．16
D．25

3. 难度：中等

已知ξ～N（3，a²），若P（ξ≤2）=0.2，则P（ξ≤4）=（ ）
A．0.2
B．0.3
C．0.7
D．0.8

4. 难度：中等

展开式中的常数项为（ ）
A．-80
B．80
C．-l60
D．160

5. 难度：中等

若抛物线y²=2px（p＞0）上任意一点P到其焦点F的距离均大于l，则实数p的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（1，+∞）
D．（2，+∞）

6. 难度：中等

若函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜，则f（x）=（ ）

A．2sin（x+）
B．2sin（2x+）
C．sin（2x+）
D．2sin（2x+）

7. 难度：中等

执行如图所示的程序框图后，输出的结果是（ ）

A．2011
B．2012
C．2013
D．2014

8. 难度：中等

已知函数f（x）=|1-x²|，在[0，1]上任取一数a，在[1，2]上任取一数b，则满足f（a）≥f（b）的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数f（x）对任意x∈R满足f（x+1）=f（x-1），当x∈[-l，1）时，（a，b＞0），若，则的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．

10. 难度：中等

将4个相同的白球和4个相同的黑球放入8个编号分别为l，2，…，8的盒子，每个盒子放1个球，若白球所对应盒子的编号之和大于黑球所对应盒子的编号之和，则称此种放球的方法为“优白放法”．那么，所有不同的“优白放法”共有（ ）
A．31种
B．32种
C．35种
D．70种

二、填空题

11. 难度：中等

已知，且，则tanα=    ．

12. 难度：中等

已知F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，A是其右顶点，过作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是△PF₁F₂的重心，若，则双曲线的离心率为    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}和{b_n}满足：，其中n∈N^*，则b₁+b₂+…+b₂₀₁₃=    ．

14. 难度：中等

直线（t为参数）与曲线p=2acosθ（θ为参数且a＞0）相切，则a=    ．

15. 难度：中等

如图，圆O的半径为l，直线AB与圆O相切于点B，且，连接A0并延长交圆O于C、D两点，则△ABC的面积为    ．

16. 难度：中等

若不等式|x+a|+|x-2|≤5的解集为[-2，3]，则实数a=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知，函数
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，求f（x）的值域．

18. 难度：中等

已知等比数列的公比q＞0，a₁=，且a₁是3a₂与2a₃的等差中项．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=），记数列{b_n}的前n项和为S_n，当n为何值时，S_n取得最大值？

19. 难度：中等

某航空公司在机场设有一个服务窗口，假设每位乘客办理登记手续所需时间相互独立，且都是整数分钟，对以往乘客办理登机手续所需时间统计结果如下：

时间（分钟）	2	3	4	5
频率	0.2	0.3	0.4	0.1

从第一位乘客开始办理登机手续时计时．
（1）估计第三位乘客等待5分钟才开始办理登机手续的概率；
（2）至第4分钟末已经办理完登机手续的乘客人数记为X，求X的分布及数学期望．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx--2x，a∈R．
（1）若f（x）在x=1处的切线与直线x+y=0垂直，求a的值．
（2）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．

21. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，C，D为椭圆上位于直线PQ异侧的两个动点，满足∠CPQ=∠DPQ，求证：直线CD的斜率为定值，并求出此定值．

22. 难度：中等

设数列{a_n}满足：a₁=a，a_n+1=）．
（1）若数列{a_n}是无穷常数列，求a的值；
（2）当a∈（0，1）时，对数列{a_n}的任意相邻三项a_n，a_n+1，a_n+2，证明：．