2013-2014学年广东省韶关市高三（上）摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合M={x|x²＜1}，N={x|y=}，则M∩N=（ ）
A．N
B．M
C．∅
D．{x|0＜x＜1}

2. 难度：中等

已知复数z₁=2+i，z₂=1+i，则在平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．y=x+1
B．y=-x²
C．
D．y=x|x|

4. 难度：中等

某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）
A．
B．
C．6
D．4

5. 难度：中等

已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合终边在直线2x-y=0上，则=（ ）
A．-2
B．2
C．0
D．

6. 难度：中等

若实数x、y满足约束条件，且目标函数z=x+y的最大值等于（ ）
A．2
B．3
C．4
D．1

7. 难度：中等

若，则向量与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[-1.08]=-2，定义函数{x}=x-[x]，给出下列四个命题：
（1）函数{x}的定义域为R，值域为[0，1]；
（2）方程{x}=有无数个解；
（3）函数{x}是周期函数；
（4）函数{x}是增函数．
其中正确命题的个数有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

9. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为     ．

10. 难度：中等

二项式展开式中含x²项的系数是    ．

11. 难度：中等

某班数学Ⅰ测试的卷面成绩从高到低依次为a₁、a₂、…a₅₀，小兵设计了一个程序框图（如图），计算并输出本次测试卷面成绩最高的前30名学生的平均分．图中，语句（1）是    ，语句（2）是    ．

12. 难度：中等

已知g（x）=|x-1|-|x-2|，则g（x）的值域为    ；若关于x的不等式g（x）≥a²+a+1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜边AB上的高为h₁，则；类比此性质，如图，在四面体P-ABC中，若PA，PB，PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为    ．

14. 难度：中等

已知圆的极坐标方程为ρ=2cosθ，则该圆的圆心到直线ρsinθ+2ρcosθ=1的距离是    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲）如图，圆O的直径AB=9，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD=1，设∠ABC=θ，则sinθ=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinωxcosωx-2cos²ωx（x∈R，ω＞0），相邻两条对称轴之间的距离等于．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x值．

17. 难度：中等

某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；
（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
（A）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；
（B）学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，第4组中有ξ名学生被考官D面试，求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E是AB的中点．
（1）求三棱锥D₁-DCE的体积；
（2）求证：D₁E⊥A₁D；
（3）求二面角D₁-EC-D的正切值．

19. 难度：中等

在平面直角坐标系x0y中，已知点A（-，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为-．
（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．若点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P的纵坐标的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n满足：（a为常数，且a≠0，a≠1）
（1）若a=2，求数列{a_n}的通项公式
（2）设，若数列{b_n}为等比数列，求a的值．
（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列{c_n}前n项和为T_n，求证．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，
（I）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）在（I）的结论下，设φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（Ⅲ）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．