2013-2014学年山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中高三（上）第一次联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|-x²+x+2＞0}，B={x|-1＜x＜1}，则A∩（∁_UB）=（ ）
A．{x|1＜x＜2}
B．{x|-1＜x＜1}
C．{x|1≤x＜2}
D．{x|x＜1或x＞2}

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，则满足z（1+i）=i的复数z为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．y=±2
D．

5. 难度：中等

阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，若输入x=1，则输出的结果为（ ）

A．-1
B．2
C．0
D．无法判断

6. 难度：中等

已知一个几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．4
B．8
C．
D．

7. 难度：中等

命题 p：∃x∈R，使得x²+x+1＜0，命题q：∀x∈（0，），x＞sinx．则下列命题中真命题为（ ）
A．p∧q
B．p∨（￢q）
C．（￢p）∧（￢q）
D．（￢p）∧q
E．（￢p）∧q为真命题．
故选D
 

8. 难度：中等

在下列区间中函数f（x）=e^x+2x-4的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．（1，2）
D．

9. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若，则=（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．

10. 难度：中等

（理科）过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作一条直线l交抛物线于A、B两点，以AB为直径的圆和该抛物线的准线l的位置关系是（ ）
A．相切
B．相离
C．相交
D．不能确定

11. 难度：中等

已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos2A+cos2B=2cos2C，则cosC的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数，若|f（x）|≥ax，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-∞，-ln2]
B．（-∞，1]
C．（-ln2，1]
D．[-ln2，0]

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量，满足，（-）⊥，向量与的夹角为    ．

14. 难度：中等

设变量x，y满足，则变量z=3x+y的最小值为    ．

15. 难度：中等

三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直且长度分别为2cm，2cm，1cm，则其外接球的表面积是    cm²．

16. 难度：中等

下面有四个命题：
①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
②函数y=3sinx+4cosx的最大值是5；
③把函数的图象向右平移得y=3sin2x的图象；
④函数在（0，π）上是减函数．
其中真命题的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和（n∈N^*），且a₃=5，S₃=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{b_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

为了比较“传统式教学法”与我校所创立的“三步式教学法”的教学效果．共选100名学生随机分成两个班，每班50名学生，其中一班采取“传统式教学法”，二班实行“三步式教学法”
（Ⅰ）若全校共有学生2000名，其中男生1100名，现抽取100名学生对两种教学方式的受欢迎程度进行问卷调查，应抽取多少名女生？
（Ⅱ）下表1，2分别为实行“传统式教学”与“三步式教学”后的数学成绩：
表1

数学成绩	90分以下	90-120分	120-140分	140分以上
频    数	15	20	10	5

表2

数学成绩	90分以下	90-120分	120-140分	140分以上
频    数	5	40	3	2

完成下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为这两种教学法有差异．

班  次	120分以下（人数）	120分以上（人数）	合计（人数）
一班
二班
合计

参考数据：

P（K^2≥k）	0.40	0.25	0.10	0.05	0.010	0.005
k	0.708	1.323	2.706	3.841	6.635	7.879

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD⊥PA，DB平分∠ADC，E为PC的中点，∠DAC=45°，AC=．
（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）若PD=2，BD=2，求四棱锥E-ABCD的体积．

20. 难度：中等

设f（x）=e^x（ax²+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行．
（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当．

21. 难度：中等

设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆方程．
（2）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，当△OAB面积最大时，求|AB|．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，已知PA与圆O相切于点A，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D
（Ⅰ）求证：PA=PD；
（Ⅱ）求证：AC•AP=AD•OC．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程
为ρsin²θ=2acosθ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|²，求a的值．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-3|+|x+1|．
（Ⅰ）求使不等式f（x）＜6成立的x的范围；
（Ⅱ）∃x∈R，f（x）＜a，求实数a的取值范围．