2013-2014学年山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中高三（上）第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x∈Z|y=}，B={x|x＞5}，则A∩（∁_UB）=（ ）
A．[3，5]
B．[3，5）
C．{4，5}
D．{3，4，5}

2. 难度：中等

复数的虚部为（ ）
A．2
B．-2
C．2i
D．-2i

3. 难度：中等

若焦点在x轴上的双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．y=±2
C．
D．

4. 难度：中等

按照如图的程序运行，已知输入x的值为2+log₂3，则输出y的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的首项a₁=1，公比q=2，则log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a₁₁=（ ）
A．50
B．35
C．55
D．46

6. 难度：中等

已知（1-2x）ⁿ展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则（1-2x）ⁿ（1+x）展开式中含x²项的系数为（ ）
A．71
B．70
C．21
D．49

7. 难度：中等

如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）

A．9
B．10
C．12
D．18

8. 难度：中等

设m＞1，当实数x，y满足不等式组时，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m的值是（ ）
A．2
B．3
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数，若方程f（x）-kx+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．[-1，+∞）
D．

10. 难度：中等

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC为球O的直径，且SC⊥OA，SC⊥OB，△OAB为等边三角形，三棱锥S-ABC的体积为，则球O的半径为（ ）
A．3
B．1
C．2
D．4

11. 难度：中等

抛物线y²=12x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，则△FPM的外接圆的方程为（ ）
A．（x-3）²+=5
B．
C．（x-3）²+（y±3）²=9
D．

12. 难度：中等

已知函数y=f（x）定义域为（-π，π），且函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，当x∈（0，π）时，，（其中f′（x）是f（x）的导函数），若，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量，满足，，，则向量与向量的夹角为    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，则a₂₀₁₄的值为    ．

15. 难度：中等

设θ为第四象限角，，则sinθ-cosθ=    ．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和s_n满足a_n+3s_n•s_n-1=0（n≥2，n∈N^*），a₁=，则na_n的最小值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，2a=b+c，bc=18．求a的值．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AB=BC=AC，E是PC的中点．
（1）求证：PD⊥平面ABE；
（2）求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．

19. 难度：中等

在一次数学考试中，第22，23，24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响．
（1）求其中甲、乙两人选做同一题的概率；
（2）设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

20. 难度：中等

设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆方程．
（2）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，当△OAB面积最大时，求|AB|．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x²（e^x-1）+ax³
（1）当时，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，已知PA与圆O相切于点A，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D
（Ⅰ）求证：PA=PD；
（Ⅱ）求证：AC•AP=AD•OC．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程
为ρsin²θ=2acosθ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|²，求a的值．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-3|+|x+1|．
（Ⅰ）求使不等式f（x）＜6成立的x的范围；
（Ⅱ）∃x∈R，f（x）＜a，求实数a的取值范围．