2012-2013学年浙江省宁波市余姚中学高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=的虚部是（ ）
A．2
B．-2
C．2i
D．-2i

2. 难度：中等

用反证法证明：若整系数一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c都不是偶数
C．假设a、b、c至多有一个偶数
D．假设a、b、c至多有两个偶数

3. 难度：中等

甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若关于x的方程x²+（1+2i）x+3m+i=0有实根，则实数m等于（ ）
A．
B．
C．-
D．-

5. 难度：中等

设复数z满足条件|z|=1那么的最大值是（ ）
A．3
B．4
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数在（1，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=cos（x+φ）φ∈（0，π），若f（x）+f′（x）为奇函数，则φ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

定义域R的奇函数f（x），当x∈（-∞，0）时f（x）+xf'（x）＜0恒成立，若a=3f（3），b=f（1），c=-2f（-2），则（ ）
A．a＞c＞b
B．c＞b＞a
C．c＞a＞b
D．a＞b＞c

9. 难度：中等

已知随机变量ξ和η，其中η=10ξ+2，且E（η）=20，若ξ的分布列如下表，则m的值为（ ）

ξ	1	2	3	4
P		m	n

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+e^x+x²⁰¹⁰，令f₁（x）=f′（x），f₂（x）=f′₁（x），f₃（x）=f′₂（x），…，f_n+1（x）=f′_n（x），则f₂₀₁₁（x）=（ ）
A．sinx+e^x
B．cosx+e^x
C．-sinx+e^x
D．-cosx+e^x

二、填空题

11. 难度：中等

已知=2+i，则复数z=    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=x³-2x²+3x-2在区间[0，2]上最大值为    ．

13. 难度：中等

若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为    ．

14. 难度：中等

观察下列各式：a+b=1，a²+b²=3，a³+b³=4，a⁴+b⁴=7，a⁵+b⁵=11，…，则a¹⁰+b¹⁰=    ．

15. 难度：中等

设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若P（ξ≥1）=，则P（η≥1）=    ．

16. 难度：中等

设f（z）=2z（cos+icos），这里z是复数，用A表示原点，B表示f （1+i）所对应的点，C表示点-4i所对应的点，则∠ABC=    ．

17. 难度：中等

在圆中有结论“如图，AB是圆O的直径，直线AC，BD是圆O过A、B的切线，P是圆O上任意一点，CD是过P的切线，则有PO²=PC•PD．”类比到椭圆：“AB是椭圆的长轴，O是椭圆中的中心，F₁，F₂是椭圆的焦点，直线AC，BD是椭圆过A、B的切线，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，则有    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止．
（I）求检验次数为4的概率；
（II）设检验次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考察得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ，η．
（1）写出ξ的概率分布列（不要求计算过程），并求出Eξ，Eη；
（2）求Dξ，Dη．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？

20. 难度：中等

已知点P_n（a_n，b_n）满足a_n+1=a_n•b_n+1，b_n+1=（n∈N^*）且点P₁的坐标为（1，-1）．
（1）求过点P₁，P₂的直线l的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N^*，点P_n都在（1）中的直线l上．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+m（a≥0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．
（I）求a，b的值；
（II）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，恒成立，求实数m的取值范围．