2011-2012学年河北省唐山一中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数-=（ ）
A．0
B．2
C．-2i
D．2i

2. 难度：中等

因为无理数是无限小数，而π是无理数，所以π是无限小数．上面推理属于（ ）
A．归纳推理
B．类比推理
C．合情推理
D．演绎推理

3. 难度：中等

盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么为（ ）
A．恰有1只坏的概率
B．恰有2只好的概率
C．4只全是好的概率
D．至多2只坏的概率

4. 难度：中等

有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（ ）
A．A₈⁸种
B．A₈⁴种
C．A₄⁴•A₄⁴种
D．A₄⁴种

5. 难度：中等

（1）已知p³+q³=2，求证p+q≤2，用反证法证明时，可假设p+q≥2；
（2）已知a，b∈R，|a|+|b|＜1，求证方程x²+ax+b=0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x₁的绝对值大于或等于1，即假设|x₁|≥1，以下结论正确的是（ ）
A．（1）的假设错误，（2）的假设正确
B．（1）与（2）的假设都正确
C．（1）的假设正确，（2）的假设错误
D．（1）与（2）的假设都错误

6. 难度：中等

在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•2•3•…•（2n-1）（n∈N^*）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式是（ ）
A．2k+1
B．2（2k+1）
C．
D．

7. 难度：中等

有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（ ）
A．36种
B．48种
C．72种
D．96种

8. 难度：中等

曲线y=与直线y=x-1及x=4所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．2-ln2
B．4-21n2
C．4-ln2
D．21n2

9. 难度：中等

某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，设X表示击中目标的次数，则P（x≥2）等于（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若f（x）=ax³+ax+2（a≠0）满足f（-1）＞1且f（1）＜1，则方程f（x）=1解的个数（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4

11. 难度：中等

在某次数学测验中，学号为i（i=1，2，3，4）的四位同学的考试成绩为f_i∈{90，92，93，96，98}，且满足f（1）＜f（2）≤f（3）＜f（4），则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为（ ）
A．5
B．9
C．10
D．15

12. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x²f（x）＞0的解集是（ ）
A．（-2，0）∪（2，+∞）
B．（-2，0）∪（0，2）
C．（-∞，-2）∪（2，+∞）
D．（-∞，-2）∪（0，2）

二、填空题

13. 难度：中等

若（1-2x）²⁰¹²=a+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²，则=    ．

14. 难度：中等

若点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为     ．

15. 难度：中等

在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知在区间（a，b）上，f（x）＞0，f′（x）＞0，对x轴上的任意两点（x₁，0），（x₂，0），（a＜x₁＜x₂＜b）都有f（）＞．若S₁=f（x）dx，S₂=（b-a），S₃=f（a）（b-a），则S₁、S₂、S₃的大小关系为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

若的展开式中x⁹的系数是．
（1）求展开式中的常数项；
（2）求的值．

18. 难度：中等

由下列不等式：，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

19. 难度：中等

在△ABC中，若AB⊥AC，AD⊥BC于D，则．在四面体A-BCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则类似的结论是什么？并说明理由．

20. 难度：中等

设f（x）=px--2lnx．
（Ⅰ）若f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一点x，使得f（x）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．

21. 难度：中等

某学校要对学生进行身体素质全面测试，对每位学生都要进行9选3考核（即共9项测试，随机选取3项），若全部合格，则颁发合格证；若不合格，则重新参加下期的9选3考核，直至合格为止，若学生小李抽到“引体向上”一项，则第一次参加考试合格的概率为，第二次参加考试合格的概率为，第三次参加考试合格的概率为，若第四次抽到可要求调换项目，其它选项小李均可一次性通过．
（1）求小李第一次考试即通过的概率P；
（2）求小李参加考核的次数ξ分布列．

22. 难度：中等

已知函数（a＞0），且f′（1）=0．
（Ⅰ）试用含有a的式子表示b，并求f（x）的极值；
（Ⅱ）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函数图象上存在点M（x，y）（其中x∈（x₁，x₂）），使得点M处的切线l∥AB，则称AB存在“伴随切线”．特别地，当时，又称AB存在“中值伴随切线”．试问：在函数f（x）的图象上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由．