2012-2013学年江西省赣州市信丰六中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是（ ）
A．=
B．＜
C．=且＞
D．=或＜

2. 难度：中等

下列求导运算正确的是（ ）
A．（x²cos x）′=-2xsin
B．（x+）′=1+
C．（log₂x）′=
D．（3^x）′=3^xlog₃e

3. 难度：中等

设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

由曲线y=f（x）（f（x）≤0），x∈[a，b]，x=a，x=b（a＜b）和x轴围成的曲边梯形的面积S=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知t＞0，若（2x-1）dx=6，则t的值等于（ ）
A．2
B．3
C．6
D．8

6. 难度：中等

函数的单调递减区间是（ ）
A．（0，1）
B．（0，e]
C．[1，+∞）
D．[e，+∞）

7. 难度：中等

函数f（x）=x³-3x²+3x的极值点的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

一质点运动时速度与时间的关系为v（t）=t²-t+2，质点作直线运动，则此物体在时间[1，2]内的位移为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

观察（x²）′=2x，（x⁴）′=4x³，（cos x）′=-sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（-x）=（ ）
A．-g（x）
B．f（x）
C．-f（x）
D．g（x）

二、填空题

11. 难度：中等

已知物体的运动方程是s=t²+，则物体在时刻t=2时的速度v=    ．

12. 难度：中等

在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类比到空间写出你认为合适的结论：    ．

13. 难度：中等

计算定积分：=    ．

14. 难度：中等

已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为    ．

15. 难度：中等

设函数y=f（x）在（a，b）上的导数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．若函数为区间（-1，3）上的“凸函数”，则m=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

列三角形数表
1-----------第一行
2    2-----------第二行
3   4    3-----------第三行
4   7    7   4-----------第四行
5   11  14  11   5
…
…
假设第n行的第二个数为a_n（n≥2，n∈N^*）
（1）依次写出第六行的所有数字；
（2）归纳出a_n+1与a_n的关系式并求出a_n的通项公式．

17. 难度：中等

已知曲线y=x³+．
（1）求曲线在x=2处的切线方程；
（2）求曲线过点（2，4）的切线方程．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：PB⊥平面EFD．

19. 难度：中等

已知f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．
（1）求函数的单调区间；
（2）若x∈[1，3]时，f（x）＞1-4c²恒成立，求实数C的取值范围．

20. 难度：中等

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（Ⅰ）求a的值
（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

21. 难度：中等

已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x²-10x的一个极值点．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．