2012-2013学年湖南师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若a＞b，则下列不等式中正确的是（ ）
A．a²＞b²
B．
C．|a|＞|b|
D．b-a＜0

2. 难度：中等

不等式x²-4x-5＞0的解集是（ ）
A．{x|-1≤x≤5}
B．{x|x≥5或x≤-1}
C．{x|-1＜x＜5}
D．{x|x＞5或x＜-1}

3. 难度：中等

在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知等比数列{a_n}满足a₁=3，且4a₁，2a₂，a₃成等差数列，则此数列的公比等于（ ）
A．1
B．-1
C．-2
D．2

5. 难度：中等

不等式组所表示的平面区域的面积等于 （ ）
A．3
B．9
C．18
D．36

6. 难度：中等

设a＞0，b＞0．若的最小值为（ ）
A．8
B．4
C．1
D．

7. 难度：中等

在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则此三角形必是 （ ）
A．等腰三角形
B．正三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形

8. 难度：中等

已知{a_n}是等比数列，a₂=2，a₅=，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=（ ）
A．16（1-4^-n）
B．16（1-2^-n）
C．（1-4^-n）
D．（1-2^-n）

二、填空题

9. 难度：中等

数列a_n中，a₁=5，a_n+1=a_n+3，那么这个数列的通项公式是    ．

10. 难度：中等

在等于    ．

11. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若2a_n=S_n+1，则数列{a_n}的通项公式是    ．

12. 难度：中等

已知t＞0，则函数的最小值为     ．

13. 难度：中等

配制A、B两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂B种药需甲料5毫克，乙料4毫克．今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A、B两种药至少各配一剂，应满足的条件是    ．

14. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m²+2m恒成立，则实数m的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若△ABC的周长为，且．
（1）求边AB的长；
（2）若△ABC的面积为，求角C的度数．

16. 难度：中等

已知变量x和y满足约束条件．
（1）求z=4x+2y的最大值；
（2）求的取值范围．

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令，求数列{b_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

如图，为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C、D两点处进行测量．在C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进10米到D点，测得塔顶的仰角为30°，试求塔的高度．

19. 难度：中等

设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知向量=（b，cosB），=（2a-c，cosC），已知与共线．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若x∈[0，π），求函数f（x）=sin（x-B）+sinx的值域．

20. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前3项和为3，前6项和为24．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，数列{b_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞k对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

21. 难度：中等

椭圆C₁的中心在原点，过点（0，），且右焦点F₂与圆C₂：（x-1）²+y²=的圆心重合．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）过点F₂的直线l交椭圆于M、N两点，问是否存在这样的直线l，使得以MN为直径的圆过椭圆的左焦点F₁？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数c，使得对任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c，且对任意x₂∈D，当x₂∉[a，b]时，f（x₂）＞c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平底型”函数．
（Ⅰ）判断函数f₁（x）=|x-1|+|x-2|和f₂（x）=x+|x-2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（Ⅱ）设f（x）是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，求实数x的取值范围；
（Ⅲ）若函数是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，求m和n的值．