2007-2008学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列命题中正确的命题是（ ）
（1）正棱锥的侧面是正三角形        
（2）正棱锥的侧面是等腰三角形
（3）底面是正多边形的棱锥是正棱锥  
（4）正棱锥的各侧面与底面所成的二面角都相等．
A．（1）（2）
B．（1）（3）
C．（2）（3）
D．（2）（4）

2. 难度：中等

以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有（ ）
A．6个
B．12个
C．18个
D．30个

3. 难度：中等

已知A，B两地位于北纬45°的纬线上，且两地的经度之差为90°，设地球的半径为Rkm，则时速为20km的轮船从A地到B地，最少需要的小时数是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

从3名男生和3名女生中，选出3名分别担任语文、数学、英语的课代表，要求至少有1名女生，则选派方案共有（ ）
A．19种
B．54种
C．114种
D．120种

5. 难度：中等

下列命题中，不正确的是（ ）
A．体对角线相等的平行六面体是直平行六面体
B．有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱
C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体
D．底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体

6. 难度：中等

在由数字1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，4、5相邻的偶数有（ ）个．
A．12
B．14
C．16
D．18

7. 难度：中等

高三（一）班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）
A．1800
B．3600
C．4320
D．5040

8. 难度：中等

某小组有6名女生，8名男生，这14名同学排成一行，其中A，B，C，D四名女生必须排在一起，另两名女生不相邻且不与前4名女生相邻，则不同的排法共有（ ）
A．A₉²A₈⁸种
B．A₈⁷A₆⁶A₄⁴种
C．A₈⁸A₉³A₄⁴种
D．A₉⁵A₈⁵A₄⁴种

9. 难度：中等

5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A．10种
B．20种
C．25种
D．32种

10. 难度：中等

反复掷掷一个骰子，依次记录下每一次抛掷落地时向上的点数，当记有三个不同点数时即停止抛掷，若抛掷五次恰好停止，则记有这五次点数的所有不同记录结果的种数有（ ）
A．360种
B．600种
C．840种
D．1680种

11. 难度：中等

在的展开式中，x⁴的系数为（ ）
A．-120
B．120
C．-15
D．15

12. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=1，且AC⊥BC，过C₁作截面分别交AC，BC于E，F，且二面角C₁-EF-C为60°，则三棱锥C₁-EFC体积的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

展开式中，常数项是    ．

14. 难度：中等

某校高三年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班且每班安排2名，则不同的安排方案种数    ．（用数字作答）

15. 难度：中等

若的展开式中含x的正整数指数幂的项共有    项．

16. 难度：中等

8名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1，2，3，4，5，6，7，8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字（如：4，5，6），则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式有    种（数字作答）

三、解答题

17. 难度：中等

已知边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，使D到P的位置．
（1）求直线PA与BC所成的角；
（2）若M为线段BC上的动点，当BM：BC为何值时，平面PAC与平面PAM所成的锐二面角为45°．

18. 难度：中等

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是A₁B₁，CD的中点．
（1）求二面角E-AF-B的大小； 
（2）求点B到面AEF的距离．

19. 难度：中等

如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

20. 难度：中等

已知斜三棱柱侧棱与底面边长均为2，侧棱与底面所成的角为60°，且侧面ABB₁A₁与底面垂直．
（1）求异面直线B₁C与C₁A所成的角；
（2）求此斜三棱柱的表面积．

21. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为1，高为h（h＞3），点M在侧棱BB₁上移动，并且M到底面ABC的距离为x，且AM与侧面BCC₁B₁所成的角为α．
（1）若α在区间上变化，求x的变化范围； 
（2）若α为，求AM与BC所成角的余弦值．

22. 难度：中等

如图，棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A，A₁B，A₁C都与平面ABC所成的角相等，∠CAB=90°，AC=AB=A₁B=a，D为BC上的点，且A₁C∥平面ADB₁．求：
（Ⅰ）A₁C与平面ADB₁的距离；
（Ⅱ）二面角A₁-AB-C的大小；
（Ⅲ）AB₁与平面ABC所成的角的大小．