2012-2013学年河北省唐山市丰南一中高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线ax+2y+6=0与直线x+（a-1）y+（a²-1）=0平行，则a等于（ ）
A．-1或2
B．2
C．-1
D．

2. 难度：中等

下列命题正确的是（ ）
A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行
B．平行于同一个平面的两条直线平行
C．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面
D．平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行

3. 难度：中等

两圆x²+y²=9和x²+y²-8x+6y+9=0的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．内切
D．外切

4. 难度：中等

已知直线l⊥平面α，有以下几个判断：
①若m⊥l，则m∥α，
②若m⊥α，则m∥l
③若m∥α，则m⊥l，
④若m∥l，则m⊥α，
上述判断中正确的是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④

5. 难度：中等

某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （ ）
A．4
B．8
C．12
D．24

6. 难度：中等

入射光线沿直线x-2y+3=0射向直线l：y=x被直线反射后的光线所在的方程是（ ）
A．x+2y-3=0
B．x+2y+3=0
C．2x-y-3=0
D．2x-y+3=0

7. 难度：中等

已知点P（x，y）在圆x²+y²-2y=0上运动，则的最大值与最小值分别为（ ）
A．
B．
C．1，-1
D．

8. 难度：中等

如图所示的正方体中，M、N是棱BC、CD的中点，则异面直线AD₁与MN所成的角为（ ）度．

A．30
B．45
C．60
D．90

9. 难度：中等

已知圆C₁：x²+y²+D₁x+E₁y-3=0与圆C₂：x²+y²+D₂x+E₂y-3=0都经过点A（2，-1），则同时经过点（D₁，E₁）和点（D₂，E₂）的直线方程为（ ）
A．2x-y+2=0
B．x-y-2=0
C．x-y+2=0
D．2x+y-2=0

10. 难度：中等

已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（ ）
A．4π
B．3π
C．2π
D．π

11. 难度：中等

若圆上恰好存在两个点P，Q，他们到直线l：3x+4y-12=0的距离为1，则称该圆为“完美型”圆．下列圆中是“完美型”圆的是（ ）
A．x²+y²=1
B．x²+y²=16
C．（x-4）²+（y-4）²=4
D．（x-4）²+（y-4）²=16

12. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A=AB=2，若棱AB上存在一点P，使得D₁P⊥PC，则棱AD的长的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．（0，1]

二、填空题

13. 难度：中等

已知，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的两倍，则直线l的斜率为    ．

14. 难度：中等

动点在圆x²+y²=1上运动，它与定点B（-2，0）连线的中点的轨迹方程是    ．

15. 难度：中等

棱长为3，各面都为等边三角形的正四面体内任取一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d₁，d₂，d₃，d₄，则d₁+d₂+d₃+d₄的值为    ．

16. 难度：中等

已知圆C₁：x²+y²=4与直线l：3x+4y-5=0交于A，B两点，若圆C₂的圆心在线段AB上，且圆C₂与圆C₁相切，切点在圆C₁的劣弧上，则圆C₂的最大面积为为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点．
（1）求AB边所在的直线方程；
（2）求中线AM的长．

18. 难度：中等

如图，正三棱锥S-ABC中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点．
求：（1）的值；
（2）二面角S-BC-A的大小；
（3）正三棱锥S-ABC的体积．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D为AB的中点．
（Ⅰ）求证AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求证AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

20. 难度：中等

已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x-3y-6=0，点（-1，1）在边AD所在的直线上，
（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；
（2）已知直线l：（1-2k）x+（1+k）y-5+4k=0（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．

21. 难度：中等

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
（Ⅱ）记三棱锥P-ABD体积为V₁，四棱锥P-BDEF体积为V₂．求当PB取得最小值时的V₁：V₂值．

22. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=4和点M（1，a），
（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；
（2）若，过点M的圆的两条弦AC．BD互相垂直，求AC+BD的最大值．