2007-2008学年江苏省泰州市高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={-1，0}，集合B={0，1，x+2}，且A⊆B，则实数x的值为    ．

2. 难度：中等

函数y=log_a（x+2）（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P点坐标为    ．

3. 难度：中等

已知点P（x，y）在直线x+y-4=0上，O是原点，则OP的最小值是    ．

4. 难度：中等

函数的定义域为    ．

5. 难度：中等

已知，其中n∈R，i是虚数单位，则n=    ．

6. 难度：中等

一几何体的三视图，如图，它的体积为    ．

7. 难度：中等

设log_a2=p，log_a3=q，则a^q-2p=    ．

8. 难度：中等

函数f（x）=x+2^x的零点所在区间为（n，n+1），n∈z，则n=    ．

9. 难度：中等

已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A（a，2），B（-4，a），C（a+1，1），则三角形ABC的外接圆的方程是     ．

10. 难度：中等

幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）递减，则整数m=    ．

11. 难度：中等

下列命题中所有正确命题的序号是    ．
（1）异面直线是指空间没有公共点的两直线；
（2）如果直线a，b异面，且a⊥平面α，那么b不垂直于平面α；
（3）如果异面直线a，b满足a∥平面α，b∥平面α，且l⊥平面α，那么l与a，b都垂直；
（4）两条异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线．

12. 难度：中等

当实数x，y满足条件|x|+|y|＜1时，变量的取值范围是    ．

13. 难度：中等

若f（n）为n²+1（n∈N^*）的各位数字之和，如14²+1=197，1+9+7=17，则f（14）=17，记f₁（n）=f（n），f₂（n）=f（f₁（n）），…，f_k+1（n）=f（f_k（n）），k∈N^*，则f₂₀₀₈（8）=    ．

14. 难度：中等

设奇函数f（x）在[-1，1]上是增函数，f（-1）=-1．若函数f（x）≤t²-2at+1对所有的x∈[-1，1]都成立，则当a∈[-1，1]时，t的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知复数z=（m²-1）+（m²-3m+2）i，求分别满足下列条件的实数m的值．
（1）z为纯虚数；
（2）z在复平面上的对应点在以（0，-3m）为圆心，为半径的圆上．

16. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D为CC₁的中点，AB₁与A₁B相交于点O，连接OD．
（1）求证：OD∥平面ABC；
（2）求证：AB₁⊥平面A₁BD．

17. 难度：中等

某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）
（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？

18. 难度：中等

在直角△ABC中，两直角边的长分别为a，b，直角顶点C到斜边的距离为h，则易证．在四面体SABC中，侧棱SA，SB，SC两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，点S到平面ABC的距离为h，类比上述结论，写出h与a，b，c的等式关系并证明．

19. 难度：中等

已知圆x²+y²=25，△ABC内接于此圆，A点的坐标（3，4），O为坐标原点．
（1）若△ABC的重心是，求直线BC的方程；（三角形重心是三角形三条中线的交点，并且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍）
（2）若直线AB与直线AC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（1）当x∈[-2，2]时，求使f（x）＜a恒成立的a的取值范围；
（2）若方程x²-2ax-1=0的两根为α，β，证明：函数f（x）在[α，β]上是单调函数．