2008-2009学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²+x≤0”的否定是    ．

2. 难度：中等

（1-i）（1+2i）=    ．

3. 难度：中等

函数的最小正周期是    ．

4. 难度：中等

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，BC=AA₁=1，则BD₁与平面A₁B₁C₁D₁所成的角的大小为    °．

5. 难度：中等

已知实数x，y满足，则z=2x+y的最小值是    ．

6. 难度：中等

已知抛物线y²=2px的准线与双曲线x²-y²=2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为     ．

7. 难度：中等

执行如图的程序框图，若p=4，则输出的S=    ．

8. 难度：中等

将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是     ．

9. 难度：中等

若直线ax+by=1过点A（b，a），则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是    ．

10. 难度：中等

已知集合，在集合A任取一个元素x，则事件“x∈A∩B”的概率是    ．

11. 难度：中等

已知F₁、F₂是椭圆+=1的左右焦点，弦AB过F₁，若△ABF₂的周长为8，则椭圆的离心率是    ．

12. 难度：中等

等边三角形ABC中，P在线段AB上，且，若，则实数λ的值是    ．

13. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和是S_n，若数列{a_n}的各项按如下规则排列：，…，若存在整数k，使S_k＜10，S_k+1≥10，则a_k=    ．

14. 难度：中等

若函数满足：对于任意的x₁，x₂∈[0，1]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，则a的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，tanB=3．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC面积．

16. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是AB，BC的中点．
（1）求证：平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（2）若在棱DD₁上有一点P，使BD₁∥平面PMN，求线段DP与PD₁的比．

17. 难度：中等

为了分析某个高二学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩．

数学	88	83	117	92	108	100	112
物理	94	91	108	96	104	101	106

（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；
（2）已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．

18. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=8交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，直线l：x=-4为准线的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若M是直线l上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于P，Q两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；
（Ⅲ）如图所示，若直线PQ与椭圆C交于G，H两点，且，试求此时弦PQ的长．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+2x，g（x）=a（x²+x）．
（1）若，求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b，等比数列{b_n}的首项为b，公比为a（其中a，b均为正整数）．
（Ⅰ）若a₁=b₁，a₂=b₂，求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若（3＜n₁＜n₂＜…＜n_k＜…）成等比数列，求数列{n_k}的通项公式；
（Ⅲ）若a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃，且至少存在三个不同的b值使得等式a_m+t=b_n（t∈N）成立，试求a、b的值．

三、填空题

21. 难度：中等

如图矩形 OABC在变换 的作用下变成了平行四边形OA′B′C′，求变换 T所对应的矩阵 M．

四、解答题

22. 难度：中等

已知某圆锥曲线C的参数方程为（t为参数）．
（1）试将圆锥曲线C的参数方程化为普通方程；
（2）以圆锥曲线C的焦点为极点，以它的对称轴为极轴建立极坐标系，试求它的极坐标方程．

23. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=1，AB=2，点E是AB上一点，AE等于何值时，二面角P-EC-D的平面角为．

24. 难度：中等

某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为．
（1）求比赛三局甲获胜的概率；
（2）求甲获胜的概率；
（3）设甲比赛的次数为X，求X的数学期望．