2012-2013学年北京市房山区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x²+x-6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则（ ）
A．M⊆N
B．N⊆M
C．M∩N=[1，2）
D．M∪N=[-3，3]

2. 难度：中等

设a，b∈R，a+bi=（1-i）（2+i）（为虚数单位），则a+b的值为（ ）
A．0
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

“φ=0”是“函数f（x）=sin（x+φ）为奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

设a=0.3²，b=2^0.3，c=log_0.34，则（ ）
A．b＜a＜c
B．c＜b＜a
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b

5. 难度：中等

已知圆C：x²+y²-2x=1，直线l：y=k（x-1）+1，则l与C的位置关系是（ ）
A．一定相离
B．一定相切
C．相交且一定不过圆心
D．相交且可能过圆心

6. 难度：中等

若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x-3y在D上的最大值为（ ）
A．4
B．3
C．-1

8. 难度：中等

对任意两个非零的平面向量和，定义⊗=，若平面向量，满足||≥||＞0，与的夹角θ∈（0，），且⊗和⊗都在集合中，则•=（ ）
A．
B．-
C．-
D．

二、填空题

9. 难度：中等

=    ．

10. 难度：中等

的展开式中x的系数是    ．（用数字作答）

11. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则c=    ，△ABC的面积等于    ．

12. 难度：中等

阅读程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为    ．

13. 难度：中等

某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营前n（n∈N^*）年的总利润S_n（单位：万元）与n之间的关系为S_n=-（n-6）²+11．当每辆客车运营的平均利润最大时，n的值为    ．

14. 难度：中等

已知m＞0，给出以下两个命题：
命题p：函数y=m^x在R上单调递减；
命题q：∀x∈R，不等式x+|x-2m|＞1恒成立．
若p∧q是假命题，p∨q是真命题，则m的取值范围为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）若f（α+）=，求cosα 的值．

16. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E为BB₁中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥D₁E；
（Ⅱ）求DE与平面AD₁E所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱AD上是否存在一点P，使得BP∥平面AD₁E？若存在，求DP的长；若不存在，说明理由．

17. 难度：中等

在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多投3次．每次投篮的结果相互独立．在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用ξ表示，如果ξ的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止．投篮的方案有以下两种：方案1：先在A处投一球，以后都在B处投：方案2：都在B处投篮．甲同学在A处投篮的命中率为0.5，在B处投篮的命中率为0.8．
（1）当甲同学选择方案1时．
①求甲同学测试结束后所得总分等于4的概率：
②求甲同学测试结束后所得总分ξ的分布列和数学期望Eξ；
（2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值2，求a，b的值；
（Ⅱ）当2b=a²-1时，讨论函数f（x）的单调性．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值；
（Ⅲ）设f（n）=是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数y=f（x），若存在x，使得f（x）=x，则称x是函数y=f（x）的一个不动点，设二次函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-2
（Ⅰ）当a=2，b=1时，求函数f（x）的不动点；
（Ⅱ）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不同的不动点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数y=f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线y=kx+是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．