2011-2012学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数i•（1+i）=（ ）
A．1+i
B．1-i
C．-1+i
D．-1-i

2. 难度：中等

若向量=（，1），=（0，-2），则与+2共线的向量可以是（ ）
A．（，-1）
B．（-1，-）
C．（-，-1）
D．（-1，）

3. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ）
A．
B．y=e^|x|
C．y=-x²+3
D．y=cos

4. 难度：中等

“直线l的方程为x-y=0”是“直线l平分圆x²+y²=1的周长”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

5. 难度：中等

一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A．3
B．-6
C．10
D．-15

7. 难度：中等

已知a＞b＞0，给出下列四个不等式：
①a²＞b²；  
②2^a＞2^b-1；  
③；  
④a³+b³＞2a²b．
其中一定成立的不等式为（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④

8. 难度：中等

有限集合P中元素的个数记作card（P）．已知card（M）=10，A⊆M，B⊆M，A∩B=∅，且card（A）=2，card（B）=3．若集合X满足X⊆M，且A⊄X，B⊄X，则集合X的个数是（ ）
A．672
B．640
C．384
D．352

二、填空题

9. 难度：中等

函数的定义域为：    ．

10. 难度：中等

双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是    ．

11. 难度：中等

若曲线y=x³+ax在原点处的切线方程是2x-y=0，则实数a=    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，tanC=2，则c=    ．

13. 难度：中等

已知{a_n}是公比为2的等比数列，若a₃-a₁=6，则a₁=    ；=    ．

14. 难度：中等

设λ＞0，不等式组 所表示的平面区域是W．给出下列三个结论：
①当λ=1时，W的面积为3；
②∃λ＞0，使W是直角三角形区域；
③设点P（x，y），对于∀P∈W有．
其中，所有正确结论的序号是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．

16. 难度：中等

某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下

等级	1	2	3	4	5
频率	0.05	m	0.15	0.35	n

（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．

17. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面长均为2，D为BC中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅲ）求三棱锥C₁-ADB₁的体积．

18. 难度：中等

已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1]上的最大值是-1，求a的值．

19. 难度：中等

已知椭圆C：的一个焦点是F（1，0），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y），求y的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列A_n：a₁，a₂，…，a_n．如果数列B_n：b₁，b₂，…，b_n满足b₁=a_n，b_k=a_k-1+a_k-b_k-1，其中k=2，3，…，n，则称B_n为A_n的“衍生数列”．
（Ⅰ）写出数列A₄：2，1，4，5的“衍生数列”B₄；
（Ⅱ）若n为偶数，且A_n的“衍生数列”是B_n，证明：b_n=a₁；
（Ⅲ）若n为奇数，且A_n的“衍生数列”是B_n，B_n的“衍生数列”是C_n，…．依次将数列A_n，B_n，C_n，…的首项取出，构成数列Ω：a₁，b₁，c₁，…．证明：Ω是等差数列．