2005-2006学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知sin（π+α）=-，那么cosα的值为（ ）
A．±
B．
C．
D．±

2. 难度：中等

过点A（4，a）和点B（5，b）的直线与直线y=x+m平行，则|AB|的值为（ ）
A．6
B．
C．2
D．不能确定

3. 难度：中等

函数f（x）=3cos2x-4sinxcosx的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．π
D．2π

4. 难度：中等

（理）已知向量||=1，||=2，=+，⊥，则与的夹角大小为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，给出下列四个命题
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β
②若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
③若m∥n，m⊥α，则n⊥α
④若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
其中正确命题的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

6. 难度：中等

将函数y=sinx-cosx的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于y轴对称，则a的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

一个三棱锥S-ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为1、、3．已知该三棱锥的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A．16π
B．32π
C．36π
D．64π

8. 难度：中等

已知曲线C：，给出下列四个命题：
①曲线C与两坐标围成的图形面积不大于
②曲线C上的点到原点的距离的最小值为
③曲线C关于点（，）中心对称
④当x≠0，1时，曲线C上所有点处的切线斜率为负值
其中正确命题个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、填空题

9. 难度：中等

抛物线y²=ax（a≠0，a∈R）的焦点坐标为    ，准线方程是    ．

10. 难度：中等

若x，y满足则不等式组表示的区域面积为    ，的取值范围是    ．

11. 难度：中等

边长为1的等边三角形ABC中，沿BC边高线AD折起，使得折后二面角B-AD-C为60°，则点A到BC的距离为    ，点D到平面ABC的距离为    ．

12. 难度：中等

图中的多边形均为正多边形．图①中F₁、F₂为椭圆的焦点，M、N为所在边中点，则该椭圆的离心率e₁的值为    ，图②中F₁、F₂为双曲线的焦点，M、N、P、Q分别为所在边中点，则该双曲线的离心率e₂的值为    ．

13. 难度：中等

一个正方体内接于一个球，过球心作截面，则下图中截面的可能图形是    ，其中过正方体对角面的截面图形为    ．（把正确的图形的序号全填在横线上）

14. 难度：中等

分段函数f（x）=可以表示为f（x）=|x|，同样分段函数f（x）=可以表示为f（x）=（x+3-|x-3|），仿此，分段函数f（x）=可以表示为f（x）=    ，分段函数f（x）=可以表示为f（x）=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的三边分别为a、b、c，，又△ABC的面积为．
求：
（1）角C大小；
（2）a+b的值．

16. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，∠BAC=90°，D为棱的中点．
（I）证明：A₁D⊥平面ADC；
（II）求异面直线A₁C与C₁D所成角的大小；
（III）求平面A₁CD与平面ABC所成二面角的大小（仅考虑锐角情况）．

17. 难度：中等

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）从圆C外一点P（x₁，y₁）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

18. 难度：中等

数列{a_n}（n∈N^*）中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在直线l：2x-y+1=0上．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设c_n=n（3a_n+2），求{c_n}的通项公式；
（Ⅲ）T_n是{c_n}的前n项和，试比较2T_n与23n²-13n的大小．

19. 难度：中等

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F（c，0）（c＞0），右准线为l：x=，|AF|=3，过点F作直线交双曲线的右支于P、Q两点，延长PB交右准线l于M点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若=-17，求△PBQ的面积S；
（Ⅲ）若=（λ≠0，λ≠-1），问是否存在实数μ=f（λ），使得，若存在，求出μ=f（λ）的表达式；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

设函数f（x）=Ax³+Bx²+Cx+6A+B，其中实数A，B，C满足：①-8B+1≤12A+4C≤8B+9，②3A＜-B≤6A
（Ⅰ）求证：；；
（Ⅱ）设0≤x≤π，求证：f（2sinx）≥0．