2007-2008学年江苏省南通市如东县高二（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

某学校有小学生125人，初中生280人，高中生95人，为了调查学生的身体状况，需要从他们当中抽取一个容量为100的样本，较为恰当的抽样方法是    ．

2. 难度：中等

一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表：

组距	[10，20）	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）
频数	2	3	4	5	4	2

则样本在区间（-∞，50）上的频率为    ．

3. 难度：中等

如图的程序段中，语句PrintI*J执行的次数是    次．

4. 难度：中等

根据如图所示的伪代码，程序运行后的结果S为    ．

5. 难度：中等

已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a∥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥β，a⊂α，α∩β=b则a‖b；
④若a与b异面，且a∥β，则b与β相交；
其中真命题的序号是    ．（要求写出所有真命题的序号）

6. 难度：中等

如图是一个长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截去一个角后的多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4，BC=6，CC₁=3．则这个多面体的体积为    ．

7. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，则a=    ．

8. 难度：中等

（文）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径忽略不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是    ．

9. 难度：中等

若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x²+y²=16内的概率是    ．

10. 难度：中等

11月6日11时35分，北京航天飞行控制中心对“嫦娥”成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5小时的环月小椭圆轨道（以月球为焦点）．卫星远月点高度由8600公里降至1700公里，近月点高度是200公里，月球的半径约是1800公里，此时小椭圆轨道的离心率是    ．

11. 难度：中等

椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点，则实数m的值是    ．

12. 难度：中等

在平面几何中，三角形的面积可以通过公式：S_三角形=a_底h_高来求得：类比到立体几何中，将一个侧面放置在水平面上的三棱柱（如图），其体积计算公式是    ．

13. 难度：中等

过抛物线y²=5x的焦点F作直线m，交该抛物线于A，B 两点，线段AB的中点为M，则点M到y轴的最近距离为    ．

14. 难度：中等

命题：F₁和F₂是椭圆的两焦点，P为椭圆上的点，过F₂作∠F₁PF₂的外角平分线的垂线，垂足为T，则T到椭圆中心的距离为该椭圆长轴长的一半．经证明该命题正确．请你依照该命题研究双曲线中的情形，写出类似的正确命题：    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知数列a_n中，a₁=2，且a_n=n+a_n-1（n≥2），求这个数列的第m项a_m的值（m≥2）．现给出此算法流程图的一部分如图．
（Ⅰ）请将空格部分（两个）填上适当的内容；
（Ⅱ）用“For”循环语句写出对应的算法；
（Ⅲ）若输出S=16，则输入的m的值是多少？

16. 难度：中等

甲、乙两台机床在相同的技术条件下，同时生产一种零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm）．
甲机床：10.2        10.1        10           9.8          9.9
       10.3        9.7         10           9.9          10.1；
乙机床：10.3        10.4        9.6          9.9          10.1
       10.9        8.9         9.7          10.2         10
（1）用茎叶图表示甲，乙两台机床所生产零件的尺寸；
（2）分别计算上面两个样本的平均数和方差．如果图纸规定零件的尺寸为10mm，从计算的结果来看哪台机床加工这种零件较合适？（要求写出公式，并利用公式笔算）

17. 难度：中等

设关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=，点F是PD的中点，点E在CD上移动．
（1）求三棱锥E-PAB体积；
（2）求证：PE⊥AF
（3）当点E在CD的什么位置时，EF∥平面PAC，并说明理由．

19. 难度：中等

已知α∈[0，π]，讨论方程x²cosα+y²sinα=1所表示的曲线的类型，当它表示圆锥曲线时，试求其离心率．

20. 难度：中等

椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，过F₁的直线l与椭圆相交于A，B两点．
（1）若∠AF₁F₂=60°，且点A在以F₁F₂为直径的圆上，求椭圆的离心率；
（2）若a=，b=1，求的最大值和最小值．

21. 难度：中等

从平面α上取6点，从平面β上取4点，这10个点最多可以确定多少个三棱锥？

22. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，P，Q分别BC，CD上的动点，，确P，Q的位置，使QB₁⊥PD₁．

23. 难度：中等

袋中装有大小相同、质地均匀的3个红球和6个白球，每次从袋中摸出一个球．
（1）一共摸出5个球，求恰好有3个红球的概率；
（2）若有放回的摸球，一共有5次摸球的机会，在摸球过程中，若有三次摸到红球则停止．记停止摸球时，已经摸到红球的次数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．

24. 难度：中等

已知点B（-1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足．
（1）求点P的轨迹C对应的方程；
（2）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k₁、k₂满足k₁•k₂=2．求证：直线DE过定点，并求出这个定点．