2007-2008学年江苏省盐城市东台市高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到0.1米）

2. 难度：中等

已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求a的值．
（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．

二、填空题

3. 难度：中等

函数的定义域是    ．

4. 难度：中等

在△ABC中，已知，它的最小内角为    度．

5. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，已知，则a_n=    ．

6. 难度：中等

命题“集合A中至少有一个元素是集合B的元素”的否定是    ．

7. 难度：中等

已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，4）、B（-2，0）、C（2，0），则△ABC内任一点M（x，y）所满足的条件为    （并排写）．

8. 难度：中等

函数的导数是    ．

9. 难度：中等

已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是    ．

10. 难度：中等

与双曲线有共同渐近线，且过的双曲线方程是    ．

11. 难度：中等

设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₃，S₉，S₆成等差数列，则公比q=    ．

12. 难度：中等

平面α的法向量为=（A，B，C），且经过点P（x，y，z），则该平面可以用方程    来表示．

13. 难度：中等

已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成的四边形的周长等于长轴长，则椭圆的离心率为    ．

14. 难度：中等

曲线y=x³-3x²+2x的一条切线的斜率是-1，则切点坐标为    ．

15. 难度：中等

直线y=x+k与抛物线y²=2x相交于点A、B，且OA⊥OB，则k=    ．

16. 难度：中等

已知半圆上一点到直径两端点距离之和的最大值为4，则该圆的半径为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC的两边AB和BC，
（1）若∠ABC=120°，如何锯断木条，才能使第三条边AC最短？
（2）对于一般情况∠ABC＞90°，（1）中结论成立吗？说明理由．

18. 难度：中等

如图，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，求：
（1）AD与BC所成的角；
（2）AD和平面BCD所成的角；
（3）二面角A-BD-C的大小的余弦值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2（n=1，2，3，…），它的前n项和为S_n，且a₃=5，S₆=36．
（1）求a_n；
（2）已知等比数列{b_n}满足b₁+b₂=1+a，b₄+b₅=a³+a⁴（a≠-1），设数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

20. 难度：中等

某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药片预防，规定每人每天上午8时和晚上20时各服一片．现知该药片每片含药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%，该药物在人体内的残留量超过380毫克，就将产生副作用．
（Ⅰ）某人上午8时第一次服药，问到第二天上午8时服完药后，这种药在他体内还残留多少？
（Ⅱ）若人长期服用这种药，这种药会不会对人体产生副作用？说明理由．