2012-2013学年湖南省衡阳八中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁_UA）∪B为（ ）
A．{1，2，4}
B．{2，3，4}
C．{0，2，4}
D．{0，2，3，4}

2. 难度：中等

设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是（ ）
A．y²=-8
B．y²=8
C．y²=-4
D．y²=4

3. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
A．
B．
C．8-2π
D．

4. 难度：中等

设a∈R，则“a=1”是“直线l₁：ax+2y-1=0与直线l₂：x+（a+1）y+4=0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

若椭圆与双曲线x²-y²=1有相同的焦点，且过抛物线y²=8x的焦点，则该椭圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）²-c²=4，且C=60°，则ab的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．

7. 难度：中等

已知{a_n}是首项为1的等比数列，s_n是{a_n}的前n项和，且9s₃=s₆，则数列的前5项和为（ ）
A．或5
B．或5
C．
D．

8. 难度：中等

设集合A={（x，y）|x，y，1-x-y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

一直线经过点P被圆x²+y²=25截得的弦长为8，则此弦所在直线方程为    ．

10. 难度：中等

已知向量和，，其中，且，则向量和的夹角是    ．

11. 难度：中等

已知F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，且|PF₁|=3，则|PF₂|的值为    ．

12. 难度：中等

设x＞0，y＞0，不等式恒成立，则实数m的最小值为    ．

13. 难度：中等

已知曲线f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）与直线x=1交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x_n，则的值为    ．

14. 难度：中等

若函数f（x）=3ax-2a+1在区间[-1，1]上没有零点，则a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

对于各项均为整数的数列{a_n}，如果a_i+i（i=1，2，3，…）为完全平方数，则称数列{a_n}具有“P性质”．不论数列{a_n}是否具有“P性质”，如果存在与{a_n}不是同一数列的{b_n}，且{b_n}同时满足下面两个条件：
①b₁，b₂，b₃，…，b_n是a₁，a₂，a₃，…，a_n的一个排列；
②数列{b_n}具有“P性质”，则称数列{a_n}具有“变换P性质”．
下面三个数列：
①数列{a_n}的前n项和；
②数列1，2，3，4，5；
③1，2，3，…，11．
具有“P性质”的为    ；具有“变换P性质”的为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|-|=．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，求sinα的值．

17. 难度：中等

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），F为抛物线的焦点，点M（）；
（1）设过F且斜率为1的直线L交抛物线C于A、B两点，且|AB|=8，求抛物线的方程；
（2）过点M作斜率互为相反数的两条直线，分别交抛物线C于除M之外的D、E两点．求证：直线DE的斜率为定值．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P--ABCD中，PB⊥底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB=AD=PB=3，BC=6．点E在棱PA上，且PE=2EA．
（1）求异面直线PA与CD所成的角；
（2）求证：PC∥平面EBD；
（3）求二面角A-BE--D的余弦值．

19. 难度：中等

数列{a_n}是等差数列，a₁=f（x+1），a₂=0，a₃=f（x-1）其中f（x）=x²-4x+2，数列{a_n}前n项和存在最小值．
（1）求通项公式a_n；
（2）若b_n=，c_n=（），（n≥3，n∈N₊）求证：b_n＞c_n．

20. 难度：中等

设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4，点M（2，）在椭圆上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且，求△OAB的面积的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²-2x．
（1）设h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求h（x）的最大值；
（2）证明：当0＜b＜a时，求证：f（a+b）-f（2b）＜；
（3）设k∈Z，当x＞1时，不等式k（x-1）＜xf（x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．