2005-2006学年江苏省南通市高二（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知抛物线，则它的准线方程是（ ）
A．y=-1
B．
C．
D．

2. 难度：中等

a，b∈R，ab＜0，则有（ ）
A．|a+b|＞|a-b|
B．|a+b|＜|a-b|
C．|a|+|b|＞|a-b|
D．||a|-|b||＞|a-b|

3. 难度：中等

若椭圆两准线间的距离是焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

直线x+2ay-1=0和直线（3a-1）x-ay-1=0平行的充要条件是（ ）
A．
B．a=0
C．
D．或0

5. 难度：中等

已知F（x）=2x²-3x-2，G（x）=3x²-7x+5，则（ ）
A．F（x）＞G（x）
B．F（x）＜G（x）
C．F（x）＞G（x）-4
D．F（x）＜G（x）-4

6. 难度：中等

下列命题：
①a＞b，c＞d⇒|a-c|＞|b-d|
②a＞b，ab＞0⇒
③a＞b⇒c-a＞c-b
④a＞b＞0，c＞d＞0⇒
其中假命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．0

7. 难度：中等

直线将圆x²+y²-2x-4y=0平分，且与直线x+2y=0垂直，则直线的方程为（ ）
A．y=2
B．y=2x-2
C．
D．

8. 难度：中等

已知点（x，y）在直线Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）的上方，则Ax+By+C的值（ ）
A．与A 同号
B．与A 异号
C．与B同号
D．与B异号

9. 难度：中等

直线l₁的方向向量为=（cos50°，sin50°），直线l₂的方向向量为=（1，tan20°），那么l₁到l₂的角是（ ）
A．20°
B．30°
C．150°
D．160°

10. 难度：中等

已知不等式ax²+bx+2＞0的解集是，那么b-a的值是 （ ）
A．-14
B．-10
C．10
D．14

11. 难度：中等

已知有（ ）
A．最大值
B．最小值
C．最大值1
D．最小值1

12. 难度：中等

设点P（m，n）在直线ax+by+3c=0上，且2c是实半轴长为a，虚半轴长为b的双曲线的焦距，则m²+n²的最小值为 （ ）
A．81
B．9
C．6
D．3

二、填空题

13. 难度：中等

实数x，y满足，则x+3y的最大值    ．

14. 难度：中等

已知双曲线C的渐近线方程是y=±x，且经过点M（，-1），则双曲线C的方程是    ．

15. 难度：中等

PA，PB是圆（x-a）²+（y-b）²=r²的两条切线，A，B为切点，∠APB=90°，则点P的轨迹方程为    ．

16. 难度：中等

已知a＞1，b＞1，且a=100，则lga•lgb的最大值为    ．

17. 难度：中等

已知椭圆与双曲线（m＞0，n＞0）具有相同的焦点F₁，F₂，设两曲线的一个交点为Q，∠QF₁F₂=90°，则双曲线的离心率为     ．

18. 难度：中等

以下关于圆锥曲线的四个命题：
①设A，B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹是双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹是圆（点A除外）；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④到定点（1，0）的距离比到y轴的距离大1的动点P的轨迹是抛物线．
其中真命题的序号为    （写出三友真命题的序号）．

三、解答题

19. 难度：中等

已知抛物线的顶点在原点，它的准线经过双曲线的左焦点，且与x轴垂直，抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程．

20. 难度：中等

解关于x的不等式＞x（a∈R）．

21. 难度：中等

如图所示，⊙P的圆心在直线y=x上，且与直线x+2y-1=0相切，这个圆截y轴的正半轴所得的弦AB长为2，求此圆的方程．

22. 难度：中等

如图，某开发区旁边有一条东北走向的公路l，开发区内有两工厂A，B（B在A正东4km），A工厂到公路l的距离为．建立适当的坐标系，解决下列问题：
（Ⅰ）求公路l所在直线的方程；
（Ⅱ）在公路l上有一站点M到A，B两工厂路程之和最小，现要建一条经过M的环行公路，使公路上每一点到A，B两工厂路程之和相等，求环行公路所在曲线的方程；
（Ⅲ）开发区内有一物资储藏库C位于B工厂西北距B工厂，在（Ⅱ）中的环行公路上设一站点N，使站点N到C，B两地的距离之和最小．试问：满足要求的点N在什么位置（不要证明），并求|NC|+|NB|的值．

23. 难度：中等

已知动圆过定点，且与直线相切，其中p＞0．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．