2007-2008学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（1+i）²=（ ）
A．2
B．2+2i
C．2i
D．-2i

2. 难度：中等

已知的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

方程对应的曲线是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

函数上的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（ ）
A．10
B．3
C．
D．-2

6. 难度：中等

以下命题中正确的是（ ）
A．若x∈R且x≠0，则x+≥2恒成立
B．在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形
C．对等差数列{a_n}的前n项和S_n，若对任意正整数n都有S_n+1＞S_n，则a_n+1＞a_n对任意正整数n恒成立
D．a=3是直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7平行且不重合的充要条件

7. 难度：中等

设P是双曲线x²-=1上的一点F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，若|PF₁|=的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图，2n台机器放在同一条直线形生产线上，它们所生产的零件都必须送到一个检验台上进行检验，已知移动零件所需的费用与所移动的距离成正比，要使移动零件到检验台的总费用最少，检验台的位置可以放置于以下情况中的哪几种？（ ）

①点M₁处；
②点Mn处；
③线段M₁M_2n上任一点；
④点M_n+1处
⑤线段M_nM_n+1的中点处．
A．①②④
B．②③④
C．②④⑤
D．②③⑤

9. 难度：中等

6个不同的数排成一排，左边三个数中最大数大于右边三数中的最小数，这样的排列个数为（ ）
A．216
B．504
C．684
D．720

10. 难度：中等

已知g（x）是各项系数均为整数的多项式，f（x）=2x²-x+1，且满足f[g（x）]=2x⁴+4x³+13x²+11x+16，则g（x）的各项系数和为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

二、填空题

11. 难度：中等

函数f（x）=在x=1处连续，则a=    ．

12. 难度：中等

将函数y=log₂x的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的m（m＞0）倍，得到图象C，若将y=log₂x的图象向上平移2个单位，也得到图象C，则m=    ．

13. 难度：中等

已知=    ．

14. 难度：中等

甲乙丙三人去A，B两地之一旅游，若每人游A地的概率为，游B地的概率为，记去A地的旅游人数为随机变量ξ，则Eξ=    ．

15. 难度：中等

若函数f（x）为定义在[0，+∞）上的增函数，定义在R上的函数g（x）满足g（x）=f（|x|），则不等式的解集为    ．

16. 难度：中等

设，则M的元素个数为    ．

17. 难度：中等

已知椭圆=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，若在椭圆的右准线上存在一点P，使得线段PA的中垂线过点F，则该椭圆离心率e的取值范围为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，且满足a²-ab+b²=c²，
（1）求角C；
（2）若△ABC的周长为2，求△ABC面积的最大值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=（2ax²-2x+1）e^-2x
（1）若a=2，求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）若f（x）在区间（2，3）上单调递减，求a的取值范围．

20. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₃=10，S₇=91．数列{b_n+1-b_n}是公比为的等比数列，且满足b₁=1，b₂=2．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n+1b_n+1-a_nb_n，求数列{c_n}中的最大项．

21. 难度：中等

如图，已知点F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，若．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点M（-1，0）作直线m交轨迹C于A，B两点．
（Ⅰ）记直线FA，FB的斜率分别为k₁，k₂，求k₁+k₂的值；
（Ⅱ）若线段AB上点R满足，求证：RF⊥MF．

22. 难度：中等

已知函数的图象关于原点对称．
（1）求f（x）的表达式；
（2）n≥2，n∈N时，求证：[f（1）-1]|[f（2²）-2²]+…+[f（n²）-n²]＜2；
（3）对n≥2，n∈N，x＞0，求证[f（x）]ⁿ-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．