2012-2013学年重庆市南开中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合，B={x|x²≤1}，则A∩B=（ ）
A．{x|-1＜x≤1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜-1}
D．{x|x≥1}

2. 难度：中等

已知p：ax+y+1=0与直线ax-y+2=0垂直，q：a=1，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的离心率，一条准线方程为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

向量=（1，x），=（-2，1），若，则|2|=（ ）
A．
B．5
C．3
D．2

5. 难度：中等

将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和是S_n，若{log₂a_n}是公差为-1的等差数列，且，则a₁的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知x，y∈R⁺，且，则x+2y的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．
D．9

8. 难度：中等

若椭圆的右焦点F是抛物线y²=4x的焦点，两曲线的一个交点为P，且|PF|=4，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知实数a、b满足a-2b+3≥0，且使得函数无极值，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，边长为a_n的一组正三角形A_nB_n-1B_n的底边B_n-1B_n依次排列在x轴上（B与坐标原点重合）．设{a_n}是首项为a，公差为d的等差数列，若所有正三角形顶点A_n在第一象限，且均落在抛物线y²=2px（p＞0）上，则的值为（ ）

A．1
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知函数f（x）=ae^x+2x²在（0，f（0））处的切线与直线2x-y-3=0平行，则a=    ．

12. 难度：中等

已知a∈（0，1），则不等式log_a（|x-1|-3）＜0的解集为    ．

13. 难度：中等

已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），则直线l与圆C相交形成的弦长|AB|=    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，则{a_n}的前2012项和为    ．

15. 难度：中等

已知点P为椭圆上一点，A、B为椭圆=1上不同的两点，且，若OA、OB所在的直线的斜率为k₁、k₂，则k₁•k₂=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知圆与圆外切
（1）求实数a的值；
（2）若a＞0，求经过点P（-1，4）且与圆C₁相切的直线l的方程．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
（1）求角A的大小；
（2）若，△ABC的面积为，求的值．

18. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄-a₂=8，且a₁、a₂、a₇成等比数列
（1）求{a_n}的通项a_n；
（2）令，数列{b_n}的前n项和为T_n，若，求项数n的最小值．

19. 难度：中等

已知函数（a为常数）
（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若方程e^2f（x）=g（x）在区间[1，2]上有解，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

如图所示，已知圆M：（x+1）²+y²=8及定点N（1，0），点P是圆M上一动点，点Q为PN的中点，PM上一点G满足
（1）求点G的轨迹C的方程；
（2）已知直线l：y=kx+m与曲线C交于A、B两点，E（0，1），是否存在直线l，使得点N恰为△ABE的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知数列{b_n}满足b₁=1，b₂=5，b_n+1=5b_n-6b_n-1（n≥2），若数列{a_n}满足
（1）求证：数列{b_n+1-2b_n}为等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）求证：．