2015届福建省高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

若一个球的表面积为4，则这个球的体积是（   ）

A．              B．              C．              D．

2. 难度：简单

已知一直线斜率为3，且过A（3，4），B（x，7）两点，则x的值为（   ）

A．4                B．12               C．－6              D．3

3. 难度：简单

图甲所表示的简单组合体可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是（   ）

4. 难度：简单

直线l₁：x+4y-2=0与直线l₂：2x-y+5=0的交点坐标为（   ）

A．（－6，2）        B．（－2，1）        C．（2，0）          D．（2，9）

5. 难度：简单

如图，长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB=，BC=CC₁=1，则异面直线AC₁与BB₁所成的角的大小为（   ）

A．30°             B．45°             C．60°             D．90°

6. 难度：简单

两条平行线l₁：3x-4y-1=0与l₂：6x-8y-7=0间的距离为（   ）

A．               B．               C．               D．1

7. 难度：简单

下列命题中，错误的命题是（   ）

A．平行于同一直线的两个平面平行。

B．一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交。

C．平行于同一平面的两个平面平行。

D．一条直线与两个平行平面所成的角相等。

8. 难度：简单

利用斜二侧画法，作出直线AB的直观图如图所示，若O’A’=O’B’=1，则直线AB在直角坐标系中的方程为（   ）

A．          B．          C．         D．

9. 难度：简单

圆x²+y²－4x+4y+6=0截直线x－y－5=0所得的弦长等于（   ）

A．              B．             C．1                D．5

10. 难度：简单

已知Rt△ABC的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，则直线ax+by+c=0与圆x²+y²=1的位置关系是（   ）

A．相交             B．相切             C．相离             D．相切或相交

11. 难度：简单

如图，三棱柱A₁B₁C₁—ABC中，侧棱AA₁⊥底面A₁B₁C₁，底面三角形A₁B₁C₁是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是(     )．

A．AE、B₁C₁为异面直线，且AE⊥B₁C₁

B．AC⊥平面A₁B₁BA

C．CC₁与B₁E是异面直线

D．A₁C₁∥平面AB₁E

12. 难度：简单

已知两圆相交于A（－1，3）、B（－6，m）两点，且这两圆的圆心均在直线上，则点（m，c）不满足下列哪个方程（  ）

A．        B．          C．       D．

二、填空题

13. 难度：简单

坐标原点到直线的距离为            ．

14. 难度：简单

若点A（4，－1）在直线l₁：上，则直线l₁与直线l₂：的位置关系是                  .（填“平行”或“垂直”）

15. 难度：简单

如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A、B的点，PA垂直于⊙O所在的平面，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，因此，         ⊥平面PBC.（填图中的一条直线）

16. 难度：简单

将一幅斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中AD=BD=，∠BAC=30°，若它们的斜边AB重合，让三角板ABD以AB为轴转动，则下列说法正确的是         .

①当平面ABD⊥平面ABC时，C、D两点间的距离为；

②在三角板ABD转动过程中，总有AB⊥CD；

③在三角板ABD转动过程中，三棱锥D－ABC体积的最大值为.

三、解答题

17. 难度：简单

（本小题满分12分）

已知直线l₁经过A（1，1）和B（3，2），直线l₂方程为2x－4y－3=0.

（1）求直线l₁的方程；

（2）判断直线l₁与l₂的位置关系，并说明理由。

18. 难度：简单

（本小题满分12分）

下列三个图中，左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图。右边两个是正视图和侧视图.

（1）请在正视图的下方，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图（不要求叙述作图过程）；

（2）求该多面体的体积（尺寸如图）.

19. 难度：简单

（本小题满分12分）

正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、G分别是BC、C₁D₁的中点，如图所示.

（1）求证：BD⊥A₁C；

（2）求证：EG∥平面BB₁D₁D.

20. 难度：简单

（本小题满分12分）

已知圆C的方程为x²+y²=4.

（1）求过点P(1，2)且与圆C相切的直线l的方程；

（2）直线l过点P(1，2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2，求直线l的方程.

21. 难度：简单

（本小题满分12分）

已知直线l：y=x，圆C₁的圆心为（3，0），且经过（4，1）点.

（1）求圆C₁的方程；

（2）若圆C₂与圆C₁关于直线l对称，点A、B分别为圆C₁、C₂上任意一点，求|AB|的最小值；

（3）已知直线l上一点M在第一象限，两质点P、Q同时从原点出发，点P以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，点Q以每秒个单位沿射线OM方向运动，设运动时间为t秒.问：当t为何值时直线PQ与圆C₁相切？

22. 难度：简单

（本小题满分14分）

如图，四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90 ，且BC=2AD=2，AB=4，SA=3.

（1）求证：平面SBC⊥平面SAB；

（2）若E、F分别为线段BC、SB上的一点（端点除外），满足.（）

①求证：对于任意的，恒有SC∥平面AEF；

②是否存在，使得△AEF为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，说明理由.