2012-2013学年广东省佛山市高明一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x||2x-1|＜3}，B={x|＜0}，则A∩B是（ ）
A．{x|-1＜x＜-或2＜x＜3}
B．{x|2＜x＜3}
C．{x|-＜x＜2}
D．{x|-1＜x＜-}

2. 难度：中等

已知复数z=（x-5）+（3-x）i，若，则实数x的值是（ ）
A．2或6
B．2
C．6或-2
D．9

3. 难度：中等

已知α∈（0，π），，则tanα=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

“m＞1”是“不等式x²-x+m＞0在R上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

函数f（x）=x²-2x-3，x∈[0，m]（m＞0）的最大值为-3，最小值为-4，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1]
B．[1，2]
C．[2，+∞）
D．（0，2]

6. 难度：中等

已知{a_n}是首项为1的等比数列，s_n是{a_n}的前n项和，且9s₃=s₆，则数列的前5项和为（ ）
A．或5
B．或5
C．
D．

7. 难度：中等

已知命题p₁：函数y=2^x-2^-x在R为增函数，p₂：函数y=2^x+2^-x在R为减函数，则在命题q₁：p₁∨p₂，q₂：p₁∧p₂，q₃：（￢p₁）和q₄：p₁∧（￢p₂）中，真命题是（ ）
A．q₁，q₃
B．q₂，q₃
C．q₁，q₄
D．q₂，q₄

8. 难度：中等

在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：
①2011∈[1]；
②-3∈[3]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

9. 难度：中等

角α终边上一点P（a，-2a）（a＜0），则=    ．

10. 难度：中等

不等式|x+1|+|x-2|＞5的解集为    ．

11. 难度：中等

若（x-）⁹的展开式中x³的系数是-84，则a=    ．

12. 难度：中等

将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于    ．

13. 难度：中等

若命题p：∀x∈[1，3]，x²-2ax+5＞0是假命题，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

如图，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知∠BPA=30°，，PC=1，则圆O的半径等于    ．

15. 难度：中等

已知直线C₁（t为参数），圆C₂（θ为参数），则C₁被C₂所截得的弦长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上经过点，且最高点与最低点横坐标的绝对值为．
（1）求f（x）；
（2）设，，求的值．

17. 难度：中等

甲、乙两名同学在5次英语口语测试中的成绩统计如图的茎叶图所示．
（1）现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从两同学的平均成绩和方差分析，派谁参加更合适；
（2）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
（注：样本数据x₁，x₂，…，x_n的方差s²=[++…+]，其中表示样本均值）

18. 难度：中等

三棱柱ABC-A₁B₁C₁的直观图及三视图（主视图和俯视图是正方形，左侧图是等腰直角三角形）如图，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求证：A₁C⊥平面BDC₁；
（3）求二面角A-BC₁-D的正切值．

19. 难度：中等

已知直线x-y+=0经过椭圆C：（a＞b＞0）的一个顶点B和一个焦点F．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P是椭圆C上动点，求||PF|-|PB||的取值范围，并求||PF|-|PB||取最小值时点P的坐标．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b是不同时为零的常数），其导函数为f'（x）．
（1）当时，若不等式对任意x∈R恒成立，求b的取值范围；
（2）求证：函数y=f'（x）在（-1，0）内至少存在一个零点．

21. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N^*．
（1）若数列{a_n}是等比数列，求实数t的值；
（2）设b_n=na_n，在（1）的条件下，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设各项均不为0的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的整数i的个数称为这个数列{c_n}的“积异号数”，令（n∈N^*），在（2）的条件下，求数列{c_n}的“积异号数”．