2012-2013学年江苏省常州一中高三（上）第二次练习数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知数集M={-1，0，x-2}中有3个元素，则实数x不能取的值构成的集合为    ．

2. 难度：中等

命题：若x≥1，则x²+3x-2≥0的否命题为    ．

3. 难度：中等

某圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则其所对圆心角的弧度数为    ．

4. 难度：中等

若直线y=-x+b为函数的一条切线，则实数b=    ．

5. 难度：中等

如果向量，，且的夹角是钝角，则实数λ的取值范围是     ．

6. 难度：中等

已知cosα=，cos（α-β）=，且0＜α＜β＜，则β=    ．

7. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，A=60°，c=，则△ABC的面积为    ．

8. 难度：中等

已知p：x²-4x-5＞0，q：x²-2x+1-m²＞0（m＞0），若p是q的充分不必要条件，则m的最大值为    ．

9. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞]上递增，f（）=0，则满足不等式＞0的x的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知在等差数列{a_n}中，d＞0，a₂₀₀₈、a₂₀₀₉是方程x²-3x-5=0的两个根，那么使得前n项和S_n＜0的最大的n值是    ．

11. 难度：中等

已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最大值是    ．

12. 难度：中等

酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm³/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，则水面升高的瞬时变化率是    ．

13. 难度：中等

已知函数，函数-a+1（a＞0），若存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

定义函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[1.5]=1，[-1.3]=-2，当x∈[0，n）（n∈N^*）时，设函数f（x）的值域为A，记集合A中的元素个数为a_n，则式子[]的最小值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点在角α的终边上，点Q（sin²θ，-1）在角β的终边上，且．
（1）求cos2θ；
（2）求sin（α+β）的值．

16. 难度：中等

已知命题P：函数在（-∞，1]内为单调递增函数，命题Q：函数f（x）=x|x-a|+2x在R上单调递增；
（1）若命题Q为真，求实数a的范围；
（2）若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．求a的最小值．

18. 难度：中等

因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm（即EF=50cm）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜．根据经验，一般顾客AB的眼睛B到地面的距离x（cm）在区间[140，180]内．设支架FG高为h（0＜h＜90）cm，AG=100cm，顾客可视的镜像范围为CD（如图所示），记CD的长度为y（y=GD-GC）．
（1）当h=40cm时，试求y关于x的函数关系式和y的最大值；
（2）当顾客的鞋A在镜中的像A₁满足不等关系GC＜GA₁≤GD（不计鞋长）时，称顾客可在镜中看到自己的鞋，若一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求h的取值范围．

19. 难度：中等

设函数x（x∈R），其中m＞0．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值；
（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x₁，x₂，且x₁＜x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=-1，当n≥3，n∈N^*时，．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在k∈N^*，使得n≥k时，不等式S_n+（2λ-1）a_n+8λ≥4对任意实数λ∈[0，1]恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在定点A，使得三点、、（其中n、m、k是互不相等的正整数且n＞m＞k≥2）到定点A的距离相等？若存在，求出点A及正整数n、m、k；若不存在，说明理由．