2012-2013学年广东省湛江市高三（上）11月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2^a}，B={a，b}，若，则A∪B为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

若a为实数，=-i，则a等于（ ）
A．
B．-
C．2
D．-2

3. 难度：中等

已知a，b∈R，则“log₃a＞log₃b”是“（）^a＜（）^b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

为了得到函数y=sin2x的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位
B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向左平移个单位

5. 难度：中等

等差数列{a_n}中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）
A．1
B．
C．
D．

6. 难度：中等

给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是（ ）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④

7. 难度：中等

已知变量x，y满足，设目标函数z=2x+y，若存在不同的三点（x，y）使目标函数z的值构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（ ）
A．
B．
C．
D．4

8. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的1高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，1]
B．（-1，1）
C．[-2，2]
D．（-2，2）

二、填空题

9. 难度：中等

定积分=    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=5，b=8，∠C=60°，则=    ．

11. 难度：中等

已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是    cm³．

12. 难度：中等

设a，b为正数，且a+b=1，则的最小值是     ．

13. 难度：中等

如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题） 已知直线的极坐标方程为，则点A到这条直线的距离为    ．

15. 难度：中等

如图，点P在圆O的直径AB的延长线上，且PB=BO=2，PC切圆O于C，CD⊥AB于D点，则CD=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量=（cosx，sinx），=（-cosx，cosx），=（-1，0）．
（Ⅰ）若，求向量、的夹角；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值．

17. 难度：中等

某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β（α+β=1）．
（1）如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求ξ的概率分布及Eξ；
（2）若把10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．

18. 难度：中等

如图，圆柱OO₁内有一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径．
（1）证明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（2）设AB=AA₁，在圆柱OO₁内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A1B₁C₁内的概率为P．当点C在圆周上运动时，记平面A₁ACC₁与平面B₁OC所成的角为θ（0°＜θ≤90°），当P取最大值时，求cosθ的值．

19. 难度：中等

设函数f（x）=-x³+3x+2分别在x₁、x₂处取得极小值、极大值．xOy平面上点A、B的坐标分别为（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂）），该平面上动点P（x，y），Q（mx，2y），满足．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求动点P的轨迹方程，并判断轨迹的形状．

20. 难度：中等

（文）已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两根，且a₁=1．
（1）求数列和{b_n}的通项公式；  
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，问是否存在常数λ，使得b_n-λS_n＞0对任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围； 若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，则称函数f（x）为理想函数．
（1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；
（2）判断函数g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；
（3）若函数f（x）为理想函数，假定∃x∈[0，1]，使得f（x）∈[0，1]，且f（f（x））=x，求证f（x）=x．