2012-2013学年福建省厦门市同安一中高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={y|y=2^x，x＞0}，N={y|y=lgx，x∈M}，则M∩N为（ ）
A．（1，+∞）
B．（1，2）
C．[2，+∞）
D．[1，+∞）

2. 难度：中等

i是虚数单位，若复数=a+bi（a，b∈R），则b的值是（ ）
A．1
B．-1
C．
D．-

3. 难度：中等

已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，，则λ=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）

A．36+128π
B．36+130π
C．38+128π
D．38+130π

5. 难度：中等

命题“若x²＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是（ ）
A．若x²≥1，则x≥1或x≤-1
B．若-1＜x＜1，则x²＜1
C．若x＞1或x＜-1，则x²＞1
D．若x≥1或x≤-1，则x²≥1

6. 难度：中等

在△ABC中，若，则角B的大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．135°
D．45°或135°

7. 难度：中等

函数y=sinsin-coscos在一个周期内的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

实数x、y满足不等式组，则w=的取值范围（ ）
A．[-1，]
B．[-，]
C．[，+∞）
D．[-，1）

9. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，且，且n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式为（ ）
A．a_n=
B．a_n=
C．a_n=n+2
D．a_n=（n+2）3ⁿ

10. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原函数图象重合ω最小值等于（ ）
A．
B．3
C．6
D．9

11. 难度：中等

若b＞a＞3，f（x）=，则下列各结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．f（）＜f（）＜f（a）
D．f（b）＜f（）＜f（）

12. 难度：中等

如图所示，A，B，C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若，则（ ）

A．0＜x+y＜1
B．x+y＞1
C．x+y＜-1
D．-1＜x+y＜0

二、填空题

13. 难度：中等

两个袋中各装有编号为1，2，3，4的4个小球，分别从每个袋中摸出一个小球，所得两球编号数之和小于5的概率为    ．

14. 难度：中等

已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切．则圆C的方程为    ．

15. 难度：中等

若不等式x²+ax+1≥0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

在数列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N*，p为常数），则{a_n}称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：
①若{a_n}为等方差数列，则{a_n²}是等差数列；
②{（-1）ⁿ}是等方差数列；
③若{a_n}是等方差数列，则{a_kn}（k∈N^*，k为常数）也是等方差数列．
其中正确命题序号为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}，S_n为其前n项的和，a₂=0，a₅=6，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若b_n=3^a_n，求数列{b_n}的前n项的和．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωy+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若α∈（），f（α+）=，求的值．

19. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O．
（Ⅰ）若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：PB=PD；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

甲乙两地相距100公里，汽车从甲地到乙地匀速行驶，速度为x公里/小时，不得超过C（C为常数）．已知汽车每小时运输成本为可变成本x²与固定成本3600之和．为使全程运输成本y最小，问汽车应以多大速度行驶？

21. 难度：中等

设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，且离心率且过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．

22. 难度：中等

设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（I）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（II）若 ，求b的最大值；
（III）设函数g（x）=f′（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），当x₂=a时，求|g（x）|的最大值．