2012-2013学年上海中学高三（上）数学试卷（2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

给出下列命题：①“”是“”的充要条件；②“”是“”的充分不必要条件；③若O为坐标原点，点A的坐标为（2，-3），，则△OAB一定是等腰直角三角形其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

2. 难度：中等

已知函数y=f（x）满足：①y=f（x+1）是偶函数；②在[1，+∞）上为增函数．若x₁＜0，x₂＞0，且x₁+x₂＜-2，则f（-x₁）与f（-x₂）的大小关系是（ ）
A．f（-x₁）＞f（-x₂）
B．f（-x₁）＜f（-x₂）
C．f（-x₁）=f（-x₂）
D．f（-x₁）与f（-x₂）的大小关系不能确定

3. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AA₁的中点，点P在其对角面BB₁D₁D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（ ）
A．圆或圆的一部分
B．抛物线或其一部分
C．双曲线或其一部分
D．椭圆或其一部分

4. 难度：中等

已知，，与的夹角为，如果，，则=等于（ ）
A．2
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设函数f（x）是奇函数，并且在R上为增函数，若0≤θ≤时，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（-∞，0）
C．（-∞，1）
D．（-∞，）

6. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃）在抛物线上，且2x₂=x₁+x₃，则有（ ）
A．|FP₁|+|FP₂|=|FP₃|
B．|FP₁|²+|FP₂|²=|FP₃|²
C．2|FP₂|=|FP₁|+|FP₃|
D．|FP₂|²=|FP₁|•|FP₃|

二、填空题

7. 难度：中等

已知集合A={（x，y）|x+y=2}，B={（x，y）|x-2y=-4}，则A∩B=    ．

8. 难度：中等

在（1-x）⁵（3+x）的展开式中，x³的系数是    ．

9. 难度：中等

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则 +的最小值是    ．

10. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₂+a₇+a₈+a₁₁=48，a₃：a₁₁=1：2，则=    ．

11. 难度：中等

某单位有六个科室，现从人才市场招聘来4名新毕业的大学生，要随机地安排到其中的两个科室且每科室2名，则不同的安排方案种数为    ．

12. 难度：中等

函数已知sinθ=，则sin⁴θ的值为    ．

13. 难度：中等

某校有教职工200人，男学生1000人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从教职工中抽取的人数为10，则n=    ．

14. 难度：中等

已知f（x）=，则不等式（x+1）f（x+1）+x≤3的解集是    ．

15. 难度：中等

已知cot14°=α，那么tan152°=    （结果用α表示）．

16. 难度：中等

定义运算，例如，1*2=1，则函数f（x）=1*2^x的值域是    ．

17. 难度：中等

已知以T=4为周期的函数f（x）=，其中m＞0．若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知M（2cos²x，1），N （1，2sinxcosx+a） （x，a∈R，a是常数），且y=（O是坐标原点）
（Ⅰ）求y关于x的函数关系式y=f （ x ）；
（Ⅱ）若x∈[，]时，f （x）的最小值为2，求a的值，并说明f （x）（x∈R）的图象可由 y=2sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换而得到．

四、填空题

19. 难度：中等

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=，点D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，
求：（1）该直三棱柱的侧面积；
（2）（理）异面直线DB₁与EA₁所成的角的大小（用反三角函数值表示）
（文）异面直线DE与A₁B₁所成的角的大小．

五、解答题

20. 难度：中等

某次有奖竞猜活动中，主持人准备了AB两个相互独立的问题，并且宣布：观众答对问题A可获奖金a元，答对问题B可获奖金2a元；先答哪个题由观众自由选择；只有第1个问题答对，才能再答第2个问题，否则中止答题若你被选为幸运观众，且假设你答对问题AB的概率分别为你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望较大？说明理由．

21. 难度：中等

在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且b，a，c成等差数列，b≥c，已知B（-1，0），C（1，0）．   
（1）求顶点A的轨迹L；   
（2）是否存在直线m，使m过点B并与曲线L交于不同的两点P、Q，且|PQ|恰好等于原点到直线m的距离的倒数？若存在，求出m的方程，若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

从盛有盐的质量分数为20%的盐水2kg的容器中，倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg的水．
（1）第5次倒出的1kg盐水中含盐多少？
（2）经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？

23. 难度：中等

对于函数 f（x），若存在x∈R，使 f（x）=x成立，则称x为f（x）的“滞点”．已知函数f （ x ）=．
（I）试问f（x）有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由；
（II）已知数列{a_n}的各项均为负数，且满足，求数列{a_n}的通项公式；
（III）已知b_n=a_n•2ⁿ，求{b_n}的前项和T_n．

24. 难度：中等

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x，使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立．
（1）函数是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数，求a的取值范围；
（3）设函数y=2^x图象与函数y=-x的图象有交点，证明：函数f（x）=2^x+x²∈M．