2012-2013学年四川省成都四中高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知集合P={0，m}，Q={x|2x²-5x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则m等于（ ）
A．2
B．1
C．1或2
D．1或

3. 难度：中等

设曲线在点处的切线与直线ax-y+1=0垂直，则a=（ ）
A．2
B．
C．-2
D．

4. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，若a₅=8a₂，则S₄=（ ）
A．7
B．8
C．16
D．15

5. 难度：中等

设x∈R，向量=（x，1），=（1，-2），且⊥，则|+|=（ ）
A．
B．
C．2
D．10

6. 难度：中等

已知命题p：“a=1是x＞0，x+≥2的充分必要条件”，命题q：“存在x∈R，+x-2＞0”，则下列命题正确的是（ ）
A．命题“p∧q”是真命题
B．命题“p∧（￢q）”是真命题
C．命题“（￢p）∧q”是真命题
D．命题“（￢p）∧（￢q）”是真命题

7. 难度：中等

已知数列a_n=2n，前n项和为S_n，若数列的前n项和为T_n，则T₂₀₁₂的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数，，f₃（x）=log_ax（其中a＞0且a≠1），在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的大致图象，则可能的一个是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示：

甲	茎	乙
5  7	1	6  8
8  8  2	2	3  6  7

设s₁，s₂分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ）
A．，s₁＜s₂
B．，s₁＞s₂
C．，s₁＞s₂
D．，s₁=s₂

10. 难度：中等

如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（-1）=（ ）

A．2
B．
C．
D．-2

11. 难度：中等

定义域为R的函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（4-x），且其导函数f′（x）满足（x-2）f′（x）＞0，则当2＜a＜4时，有（ ）
A．f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
B．f（2）＜f（2^a）＜f（log₂a）
C．
D．

12. 难度：中等

如图为函数M（t，f（t））处的切线为l，l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q，点N（0，1），若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，则b的取值范围为
（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知，则f（2）+f（0）的值等于    ．

14. 难度：中等

已知，则cos（α+）等于    ．

15. 难度：中等

在边长为6的等边△ABC中，点M满足，则等于    ．

16. 难度：中等

若存在区间M=[a，b]（a＜b）使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：
①f（x）=e^x     ②f（x）=x³ ③f（x）=cos     ④f（x）=lnx+1
其中存在稳定区间的函数有    （写出所有正确命题的序号）．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量，，且∥，B为锐角．
（I）求角B的大小；
（II）设b=2，a+c=4，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁
（3）求三棱锥 A₁-B₁CD的体积．

19. 难度：中等

设平面向量，．
（I）当m，n∈{-2，-1，1，2}时．记“⊥”为事件A，求事件A发生的概率；
（II）当m∈[-1，2]，n∈[-1，1]时，记“与所成角为钝角”为事件B，求事件B发生的概率．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁=1，a₅=5；设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-S_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•b_n（n=1，2，3，…），T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=asinx-x+b在处有极值（其中a，b都是正实数）．
（I）求a的值；
（II）对于一切；
（III）若函数f（x）在区间上单调递增，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．
（Ⅰ）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取极值，求t的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求正整数m的最大值．