2012-2013学年吉林省实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么（ ）
A．甲是乙成立的充分不必要条件
B．甲是乙成立的必要不充分条件
C．甲是乙成立的充要条件
D．甲是乙成立的非充分非必要条件

2. 难度：中等

设抛物线y=-x²的焦点坐标是（ ）
A．（0，-2）
B．（0，2）
C．（0，-4）
D．（0，4）

3. 难度：中等

在同一坐标系中，方程a²x²+b²y²=1与ax+by²=0（a＞b＞0）的曲线大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

AB为过椭圆（a＞b＞0）中心的弦，F（c，0）是椭圆的右焦点，则△ABF面积的最大值是（ ）
A．bc
B．ac
C．ab
D．b²

5. 难度：中等

下列命题的否定是真命题的是（ ）
A．∀x∈R，x²-2x+2≥0
B．所有的菱形都是平行四边形
C．∃x∈R，|x-1|＜0
D．∃x∈R，使得x³+64=0

6. 难度：中等

在相距4k米的A、B两地，听到炮弹爆炸声的时间相差2秒，若声速每秒k 米，则爆炸地点P必在（ ）
A．以A，B为焦点，短轴长为k米的椭圆上．
B．以A，B为焦点，实轴长为2k米的双曲线上．
C．以AB为直径的圆上．
D．以A，B为顶点，虚轴长为k米的双曲线上．

7. 难度：中等

如果点P在平面区域上，点Q在曲线x²+（y+2）²=1上，那么|PQ|的最小值为（ ）
A．-1
B．-1
C．2-1
D．-1

8. 难度：中等

已知双曲线：，则以A（1，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为（ ）
A．3x-y-2=0
B．x-3y+2=0
C．3x+y-2=0
D．不存在

9. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（-c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n²是2m²与c²的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若直线y=kx+2与双曲线x²-y²=6的左支交于不同的两点，那么k的取值范围是（ ）
A．（）
B．（-1，1）
C．（）
D．（）

11. 难度：中等

设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

如图过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（ ）

A．y²=
B．y²=9
C．y²=
D．y²=3

二、填空题

13. 难度：中等

若曲线表示双曲线，则k的取值范围是     ．

14. 难度：中等

已知点P在抛物线y²=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为    ．

15. 难度：中等

已知p：|x-4|≤6，q：x²-2x+1-m²≤0（m＞0），若￢p是￢q必要不充分条件，则m的取值范围为    ．

16. 难度：中等

一动圆与圆x²+y²+6x+5=0外切，同时与圆x²+y²-6x-91=0内切，则动圆圆心M的轨迹方程是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在抛物线y=4x²上求一点，使这点到直线y=4x-5的距离最短．

18. 难度：中等

已知p：方程x²+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根．若p或q为真，p且q为假．求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

已知双曲线过点P，它的渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F₁和F₂是这双曲线的左、右焦点，点P在这双曲线上，且|PF₁|•|PF₂|=32，求∠F₁PF₂的大小．

20. 难度：中等

若直线y=x+t与椭圆相交于A、B两点，当t变化时，求|AB|的最大值．

21. 难度：中等

如图，过抛物线y²=2px（p＞0）上一定点P（x，y）（y＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离
（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．

22. 难度：中等

设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足．记动点P的轨迹为C．
（I） 求轨迹C的方程；
（Ⅱ）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且，求实数λ的取值范围．