2012-2013学年浙江省宁波市万里国际学校高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合，集合N={y|y=x²-1，x∈R}，则M∩N=（ ）
A．
B．
C．
D．∅

2. 难度：中等

函数f（x）=lnx+x-1零点的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

3. 难度：中等

棱长为2的正方体的外接球与内切球的体积之比为（ ）
A．
B．3：1
C．
D．9：1

4. 难度：中等

“x²-x-2＞0成立”是“x＞3成立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

各项都是正数的等比数列{a_n}中，a₂，a₃，a₁成等差数列，则的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．1或

6. 难度：中等

已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
B．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n
C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
D．若m⊥α，n⊥β，α⊥β则m⊥n

7. 难度：中等

将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来2的倍，再向左平移个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知三棱锥的俯视图与侧视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图，半圆的直径为AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

定义在区间[0，a]上的函数f（x）的图象如图所示，记以A（0，f（0）），B（a，f（a）），C（x，f（x））为顶点的三角形的面积为S（x），则函数S（x）的导函数S′（x）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

若x＞0，则x+的最小值为    ．

12. 难度：中等

设向量满足，，则=    ．

13. 难度：中等

已知，则=    ．

14. 难度：中等

直线与圆x²+y²=1交于两点A，B，O为坐标原点，则∠AOB=    ．

15. 难度：中等

如图，已知点M是棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱A₁B₁的中点，则点M到平面ABC₁D₁的距离是    ．

16. 难度：中等

设实数x，y满足不等式，若ax+y的最大值为1，则常数a的取值范围是    ．

17. 难度：中等

在边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为正方体内一动点（包括表面），若，且0≤x≤y≤z≤1．则P点所有可能的位置所构成的几何体的体积是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，向量=（4，-1），且．
（1）求角A的大小；
（2）若a=，试判断b×c取得最大值时△ABC形状．

19. 难度：中等

已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC与BD交于点O，且∠ABC=120°，M为BC的中点．将此菱形沿对角线BD折成二面角A-BD-C．
（ I）求证：面AOC⊥面BCD；
（ II）若二面角A-BD-C为60°时，求直线AM与面AOC所成角的余弦值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的n∈N⁺，点（n，S_n）均在函数f（x）=2^x的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=log₂a_n，求使成立的n的最大值．

21. 难度：中等

如图所示，正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．
（1）求证：BD₁∥平面A₁DE；
（2）求证：D₁E⊥A₁D；
（3）在线段AB上是否存在点M，使二面角D₁-MC-D的大小为？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数（a＞0），且f′（1）=0．
（Ⅰ）试用含有a的式子表示b，并求f（x）的极值；
（Ⅱ）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函数图象上存在点M（x，y）（其中x∈（x₁，x₂）），使得点M处的切线l∥AB，则称AB存在“伴随切线”．特别地，当时，又称AB存在“中值伴随切线”．试问：在函数f（x）的图象上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由．