2012-2013学年辽宁省实验中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若上是减函数，则b的取值范围是（ ）
A．[-1，+∞）
B．（-1，+∞）
C．（-∞，-1]
D．（-∞，-1）

2. 难度：中等

在△ABC中，若a，b，c分别是角A，B，C的对边，A=60°，b=1，三角形面积为．则=（ ）
A．2
B．
C．
D．

3. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|，则（ ）
A．f（sin）＜f（cos）
B．f（sin1）＞f（cos1）
C．f（cos）＜f（sin）
D．f（cos2）＞f（sin2）

4. 难度：中等

已知f（x）=3sinx-πx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（ ）
A．p是假命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0
B．p是假命题，￢p：∃x∈（0，），f（x）≥0
C．p是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）＞0
D．p是真命题，￢p：∃x∈（0，），f（x）≥0

5. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+cosx+|sinx-cosx|，若∀x∈R，f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）则|x₁-x₂|的最小值为（ ）
A．2π
B．π
C．π
D．π

6. 难度：中等

在曲线y=x²（x＜0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的图形面积为，则A点的横坐标为（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

7. 难度：中等

在△ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形但不是等边三角形

8. 难度：中等

若非零向量，满足，则与夹角的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在△ABC中，∠A=30°，AB=4，则的最小值为（ ）
A．
B．6
C．
D．

10. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足：对于任意α，β∈R，总有f（α+β）-[f（α）+f（β）]=2012，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）-1是奇函数
B．f（x）+1是奇函数
C．f（x）-2012是奇函数
D．f（x）+2012是奇函数

11. 难度：中等

函数的所有零点之和等于（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

12. 难度：中等

在△ABC中，AC=6，BC=7，，O是△ABC的内心，若，其中0≤x≤1，0≤y≤1，动点P的轨迹所覆盖的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

，，=    ．

14. 难度：中等

△ABC的三个内角A，B，C满足sinA•cos²+sinC•cos²=sinB，则cosB的取值范围是    ．

15. 难度：中等

点G是△ABC的重心，，（λ，μ∈R），若∠A=120°，，则最小值为    ．

16. 难度：中等

已知f₁（x）=sin2x，记f_n+1（x）=f_n′（x），（n∈N^*），则=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数．
（I）求函数f（x）图象的对称中心和单调递增区间；
（II）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a，b，c依次成等比数列，求f（B）的最值．

18. 难度：中等

已知△ABC的面积满足，且•=6，
（Ⅰ）求f（B）=sin²B+2sinB•cosB+3cos²B的值域；
（Ⅱ）若，求的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数，
（1）讨论f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）当f（x）是奇函数时，求f（x）在[-c，c]（c＞0，c是常数）上的值域．

20. 难度：中等

四个纪念币A、B、C、D，投掷时正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．

纪念币	A	B	C	D
概率			a	a

这四个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的个数．
（1）求ξ的分布列及数学期望；
（2）在概率P （ξ=i ） （i=0，1，2，3，4）中，若P （ξ=2 ）的值最大，求a的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-2x²+bx+a，g（x）=ln（1+2x）+x．
（1）求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）与g（x）有交点，且在交点处的切线均为直线y=3x，求a，b的值并证明：在公共定义域内恒有f（x）≥g（x）．
（3）设A（x₁，g（x₁）），B（x₂，g（x₂）），C（t，g（t））是y=g（x）图象上任意三点，且-＜x₁＜t＜x₂，求证：割线AC的斜率大于割线BC的斜率．

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆锥曲线C：（θ为参数）和定点，F₁，F₂是此圆锥曲线的左、右焦点．
（1）以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF₂的极坐标方程；
（2）经过点F₁，且与直线AF₂垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF₁|-|NF₁||的值．