2011-2012学年江苏省南通市如东县栟茶高级中学高三（上）第一次学情调研数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题p：∀x∈R，2x²+1＞0的否定是    ．

2. 难度：中等

“x＞1”是“x²＞x”成立的    条件（ 填“充分不必要”、“必要不充分条件”、“充要”、“既不充分又不必要”之一）．

3. 难度：中等

已知集合A={3，m²}，B={-1，3，3m-2}，若A∩B=A，则实数m的值为    ．

4. 难度：中等

函数的值域是    ．

5. 难度：中等

已知f（x）=，不等式f（x）≥-1的解集是    ．

6. 难度：中等

设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若a∥α且b∥α，则a∥b；
（2）若a⊥α且a⊥β，则α∥β；
（3）若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；
（4）若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β．
上面命题中，所有真命题的序号是    ．

7. 难度：中等

函数f（x）=ln（4+3x-x²）的单调递减区间是    ．

8. 难度：中等

如果函数 是奇函数，则f（x）=    ．

9. 难度：中等

已知α，β为锐角，且，，则sin（α+β）=    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则角B的值为   

11. 难度：中等

下列几个命题：
①关于x的不等式在（0，1）上恒成立，则a的取值范围为（-∞，1]； 
②函数y=log₂（-x+1）+2的图象可由y=log₂（-x-1）-2的图象向上平移4个单位，向右平移2个单位得到；
③若关于x方程|x²-2x-3|=m有两解，则m=0或m＞4；
④若函数f（2x+1）是偶函数，则f（2x）的图象关于直线x=对称．
其中正确的有    ．

12. 难度：中等

已知a≥0，若函数在[-1，1]上的最大值为2，则实数a的值为    ．

13. 难度：中等

等腰三角形ABC的腰AB上的中线CD的长为2，则△ABC周长的最大值    ．

14. 难度：中等

已知f（x）=|x²-4|+x²+kx，若f（x）在（0，4）上有两个不同的零点x₁，x₂，则k的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知命题p：指数函数f（x）=（2a-6）^x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的两个实根均大于3．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且cosB=．
（1）若•=，求a+c的值；
（2）求+的值．

17. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在边BC上，AD⊥C₁D．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BC C₁B₁；
（Ⅱ）设E是B₁C₁上的一点，当的值为多少时，A₁E∥平面ADC₁？请给出证明．

18. 难度：中等

在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（a＞b），在AB、AD、CD、CB上分别截取AE、AH、CG、CF都等于x，
（1）将四边形EFGH的面积S表示成x的函数，并写出函数的定义域；
（2）当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积．

19. 难度：中等

已知函数．（k∈R且k＞0）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）在[10，+∞）上单调递增，求k的取值范围．

20. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，是否存在m∈R，使得f（m）=-a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；
（2）若对有2个不等实根，证明必有一个根属于（x₁，x₂）．
（3）若f（0）=0，是否存在b的值使{x|f（x）=x}={x|f[f（x）]=x}成立，若存在，求出b的取值范围，若不存在，说明理由．