2012-2013学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合P={3，log₂a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（ ）
A．{3，0}
B．{3，0，1}
C．{3，0，2}
D．{3，0，1，2}

2. 难度：中等

已知=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

函数f（x）=x-2^-π的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

4. 难度：中等

记数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2（a_n-1），则a₂（ ）
A．4
B．2
C．1
D．-2

5. 难度：中等

己知函数f（x）=ax³+bx²+c，其导数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的极大值是（ ）

A．a+b+c
B．8a+4b+c
C．3a+2b
D．c

6. 难度：中等

“”是“tanx=1”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

如图，已知等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知a＞b，函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象如图所示，则函数g（x）=log_a（x+b）的图象可能为
（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若△ABC的内角A、B、C满足sinA：sinB：sinC=2：3：3，则cosB（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+2分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）
A．4
B．1
C．2
D．3

12. 难度：中等

设定义在R上的函数f（x）是最小正周期2π的偶函数，f′（x）是函数f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1； 当x∈（0，π） 且x≠时，（x-）f′（x）＞0，则函数y=f（x）-sinx在[-2π，2π]上的零点个数为（ ）
A．2
B．4
C．5
D．8

二、填空题

13. 难度：中等

已知=    ．

14. 难度：中等

若命题“∃x∈R，x²+2ax+2-a=0是真命题”，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移个单位，最后所得到的图象对应的解析式是    ．

16. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF=1，则四面体A-EFB的体积为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数．
（I）求f（x）的值域；
（II）试画出函数f（x）在区间[-1，5]上的图象．

18. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（I）若A，B两点的纵会标分别为的值；
（II）已知点C是单位圆上的一点，且的夹角θ．

19. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2BC=2CD，E是PA的中点．
（I）求证：DE∥平面PBC；
（II）求证：AD⊥PB．

20. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是不为0的常数，n∈N^*），且a₁，a₂，a₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n．

21. 难度：中等

国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某种钻石的价值v（美元）与其重量w（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．
（I）写出v关于w的函数关系式；
（II）若把一颗钻石切割成重量比为1：x（x≥1）的两颗钻石，价值损失的百分率为y，写出y关于x的函数关系式；
（III）试证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1：1切割，价值损失的百分率最大．
（注：价值损失的百分率=×100%，在切割过程中的重量损耗忽略不计）

22. 难度：中等

已知函数．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）已知点图角上的点，曲线C上是否存在点M（x，y）满足：①；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB？请说明理由．