2012-2013学年江苏省无锡一中高三（上）第一次质量检测数学试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（C_UQ）=    ．

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，若1+7i=（x+yi）（2-i）（x，y∈R），则xy=    ．

3. 难度：中等

甲、乙、丙三人站成一排，其中甲、乙两人不排在一起的概率为    ．

4. 难度：中等

已知向量的夹角为120°，且，，则=    ．

5. 难度：中等

在△ABC中，若a=3，b=，，则∠C的大小为    ．

6. 难度：中等

观察下列事实：|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4．|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8．…，则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为    ．

7. 难度：中等

已知，则cos2α=    ．

8. 难度：中等

设m，n∈R，若直线l：mx+ny-1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x²+y²=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为    ．

9. 难度：中等

将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位，所得图象经过点，则ω的最小值是    ．

10. 难度：中等

满足f（xy）=f（x）+f（y）+1的函数f（x）的解析式可以是    ．

11. 难度：中等

数列{a_n}满足，则{a_n}的前60项和为    ．

12. 难度：中等

不等式x²-1≥a|x-1|对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=|x²-2|，若f（a）≥f（b），且0≤a≤b，则满足条件的点（a，b）所围成区域的面积为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知集合，B={x|（x-2）（x-3a-1）＜0}．
（1）若a=2，求集合A；      
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

已知圆心为O，半径为1，弧度数为π的圆弧上有两点P，C，其中=（如图）．
（1）若P为圆弧的中点，E在线段OA上运动，求的最小值；
（2）若E，F分别为线段OA，OC的中点，当P在圆弧上运动时，求的最大值．

17. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（-4，0），B（0，-2），半径为r的圆M的圆心M在线段AB的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为．
（1）若r为正常数，求圆M的方程；
（2）当r变化时，是否存在定直线l与圆相切？如果存在求出定直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S₁和S₂．
（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；
（2）求的最小值．

19. 难度：中等

设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，a_n+1=2S_n+2（n∈N^*），
（1）求a₂以及数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n个数组成一个公差为d_n的等差数列．
（ⅰ）求证：（n∈N^*）；
（ⅱ）求证：在数列{d_n}中不存在三项d_m，d_s，d_t成等比数列．（其中m，s，t依次成等比数列）

20. 难度：中等

已知a为实数，函数，g（x）=（1+ax）e^x，记F（x）=f（x）•g（x）．
（1）若函数f（x）在点（0，1）处的切线方程为x+y-1=0，求a的值；
（2）若a=1，求函数g（x）的最小值；
（3）当时，解不等式F（x）＜1．