2012-2013学年浙江省宁波市余姚中学高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数z的共轭复数为，若z=1-i（i为虚数单位），则的值为（ ）
A．i
B．-i
C．0
D．-3i

2. 难度：中等

设集合M={x|x=3m+1，m∈Z}，N={y|y=3n+2，n∈Z}，若x∈M，y∈N，则xy与集合M、N的关系是（ ）
A．xy∈M
B．xy∈N
C．xy∉M∪N
D．xy∈M∩N

3. 难度：中等

函数的图象可能是下列图象中的（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

“a=1”是“函数在其定义域上为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位（ ）
A．85
B．56
C．49
D．28

6. 难度：中等

若变量a，b满足约束条件，n=2a+3b，则n取最小值时，二项展开式中的常数项为（ ）
A．-80
B．80
C．40
D．-20

7. 难度：中等

已知两点A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC=120°，设，（λ∈R），则λ等于（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．2

8. 难度：中等

F为抛物线y²=4x的焦点，A，B，C为抛物线上三点．O为坐标原点，若F是△ABC的重心，△OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S₁，S₂，S₃，则++的值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9

9. 难度：中等

对任意实数x，y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a，b，c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零常数m，使得对任意实数x，都有x*m=x，则m的值是（ ）
A．4
B．-4
C．-5
D．-6

10. 难度：中等

如图所示，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6．若tan∠ADP-2tan∠BCP=1，则动点P在平面α内的轨迹是（ ）

A．椭圆的一部分
B．线段
C．双曲线的一部分
D．以上都不是

二、填空题

11. 难度：中等

三视图如下的几何体的体积为    ．

12. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的各项均为正数，若a₁=3，前三项的和为21，则a₄+a₅+a₆=    ．

13. 难度：中等

如图，是一程序框图，则输出结果为    ．

14. 难度：中等

在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是    ．

15. 难度：中等

已知F是双曲线-的左焦点，B₁B₂是双曲线的虚轴，M是OB₁的中点，过F，M的直线交双曲线C于点A，且，则双曲线C的离心率是    ．

16. 难度：中等

已知数集A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，记和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数为M（A）．如当A={1，2，3，4}时，由1+2=3，1+3=4，1+4=2+3=5，2+4=6，3+4=7，得M（A）=5．若A=1，2，3，…，n，则M（A）=    ．

17. 难度：中等

已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x²+y²+z²=3，则xyz的最大值是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）求2sin²A+cos（A-C）的范围．

19. 难度：中等

一个袋中装有大小和质地都相同的10个球，其中黑球4个，白球5个，红球1个．
（1）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布和数学期望E（X）；
（2）每次从袋中随机地摸出一球，记下颜色后放回．求3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率．

20. 难度：中等

已知四边形ABCD满足AD∥BC，，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B₁AE，使面B₁AE⊥面AECD，F为B₁D的中点．
（Ⅰ）求四棱B₁-AECD的体积；
（Ⅱ）证明：B₁E∥面ACF；
（Ⅲ）求面ADB₁与面ECB₁所成二面角的余弦值．

21. 难度：中等

已知点A（0，1）、B（0，-1），P是一个动点，且直线PA、PB的斜率之积为．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q（2，0），过点（-1，0）的直线l交C于M、N两点，△QMN的面积记为S，若对满足条件的任意直线l，不等式S≤λtanMQN恒成立，求λ的最小值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=，a∈R．
（Ⅰ）当a=时，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若函数f（x）在导函数f′（x）的单调区间上也是单调的，求a的取值范围；
（Ⅲ） 当0＜a＜时，设g（x）=f（x）-（）lnx-（a+）x²+（2a+1）x，且x₁，x₂是函数g（x）的极值点，证明：g（x₁）+g（x₂）＞3-2ln2．