2012-2013学年福建师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在△ABC中，∠A=30°，a=2，b=8，满足条件的△ABC（ ）
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．不能确定

2. 难度：中等

下列命题中，正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac²＞bc²
B．-2＜a＜3，1＜b＜2，则-3＜a-b＜1
C．若a＞b＞0，m＞0，则
D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

3. 难度：中等

已知，则A∪B=（ ）
A．（1，2）
B．（2，3）
C．（-∞，0）∪（1，+∞）
D．（-∞，0）∪（1，2）

4. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₃+a₉=27-a₆，S_n表示数列{a_n}的前n项和，则S₁₁=（ ）
A．18
B．99
C．198
D．297

5. 难度：中等

已知△ABC满足c=2acosB，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形

6. 难度：中等

记等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃=3，S₆=30，则=（ ）
A．9
B．27
C．-8
D．8

7. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若点（2，t）在直线x-2y+4=0的右下方区域包括边界，则t的取值范围是（ ）
A．t＜3
B．t＞3
C．t≥3
D．t≤3

8. 难度：中等

某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约（ ）年可使当年总销售量达到30000台．（结果保留到个位）（lg6≈0.20，lg1.1≈0.041）
A．3
B．4
C．5
D．6

9. 难度：中等

若实数x，y满足，则x²+y²的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如果方程x²+（m-1）x+m²-2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．（1，2）

11. 难度：中等

下列命题正确的是（ ）
A．
B．对任意的实数x，都有x³≥x²-x+1恒成立．
C．y=2x（2-x），（x≥2）的最大值为2
D．的最小值为2

12. 难度：中等

0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x-b）²＞（ax）²的解集中的整数恰有3个，则（ ）
A．-1＜a＜0
B．0＜a＜1
C．1＜a＜3
D．2＜a＜3

二、填空题

13. 难度：中等

已知，则a_n=    ．

14. 难度：中等

数列1，，，…，，…的前n项和S_n=    ．

15. 难度：中等

已知三条线段的大小关系为：2＜3＜x，若这三条线段能构成钝角三角形，则x的取值范围为    ．

16. 难度：中等

如图所示，从中间阴影算起，图1表示蜂巢有1层只有一个室，图2表示蜂巢有2层共有7个室，图3表示蜂巢有3层共有19个室，图4表示蜂巢有4层共有37个室．观察蜂巢的室的规律，指出蜂巢有n层时共有    个室．

三、解答题

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足S₃=18，a₂+a₄=10．
（Ⅰ）求通项{a_n}的通项公式及S_n的最大值；
（Ⅱ）设，求数列{b_n}的其前n项和T_n．

18. 难度：中等

已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c且．
（I） 若，求周长的最小值；
（Ⅱ） 若，求边c的值．

19. 难度：中等

福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：

每台空调或冰箱所需资金 （百元）		月资金最多供应量 （百元）
空调	冰箱
进货成本	30	20	300
工人工资	5	10	110
每台利润	6	8

问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定空调和冰箱的月供应量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？

20. 难度：中等

某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A₁B₁C₁D₁（阴影部分）和环公园人行道组成．已知休闲区A₁B₁C₁D₁的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．
（1）若设休闲区的长A₁B₁=x米，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；
（2）要使公园所占面积最小，休闲区A₁B₁C₁D₁的长和宽该如何设计？

21. 难度：中等

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；

22. 难度：中等

已知二次函数f（x）满足以下两个条件：
①不等式f（x）＜0的解集是（-2，0）
②函数f（x）在x∈[1，2]上的最小值是3
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数f（x）的图象上，且a₁=99
（ⅰ）求证：数列{lg（1+a_n）}为等比数列
（ⅱ）令b_n=lg（1+a_n），是否存在正实数k，使不等式kn²b_n＞（n+1）b_n+1对于一切的n∈N^*恒成立？若存在，指出k的取值范围；若不存在，请说明理由．