2011-2012学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）3月模块考试数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题“对任意的x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，x³-x²+1≤0
B．存在x∈R，x³-x²+1≤0
C．存在x∈R，x³-x²+1＞0
D．对任意的x∈R，x³-x²+1＞0

2. 难度：中等

如果复数（b∈R）的实部和虚部互为相反数，则b等于（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2

3. 难度：中等

在△ABC中，“sinA＞”是“∠A＞”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了1520青少年及其家长，得数据如下

	父母吸烟	父母不吸烟	合计
子女吸烟	237	83	320
子女不吸烟	678	522	1200
合计	915	605	1520

附：|经过独立性检验计算得K²的观测值k=≈32.52．
附表：

P（K^2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

参照附表，则下列结论较准确的一个是（ ）
A．子女吸烟与父母吸烟无关
B．有95%的把握说子女吸烟与父母吸烟有关
C．有99%的把握说子女吸烟与父母吸烟有关
D．有99.9%的把握说子女吸烟与父母吸烟有关

5. 难度：中等

曲线y=cosx（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是（ ）
A．4
B．5
C．3
D．2

6. 难度：中等

设（3-x）⁵=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₅（x-1）⁵，那么a+a₂+a₄的值为（ ）
A．123
B．122
C．246
D．244

7. 难度：中等

如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设a₁，a₂，…，a_n是1，2，…，n的一个排列，把排在a_i的左边且比a_i小的数的个数称为a_i的顺序数（i=1，2，…，n）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为（ ）
A．48
B．96
C．144
D．192

二、填空题

9. 难度：中等

随机变量ξ服从二项分布，且ξ～B（10，0.8），则D（ξ）=    ．

10. 难度：中等

已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ²）（σ＞0），若P（ξ≥2）=0.023，则P（|ξ|＜2）=    ．

11. 难度：中等

如图，已知PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B、C两点，PA=，PB=1，则∠C=    ．

12. 难度：中等

如图，AB为☉C的直径，弦AC，BD交于点P，若AB=3，CD=1，则sin∠APD=    ．

13. 难度：中等

设双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x²+1相切，则该双曲线的离心率等于    ．

14. 难度：中等

由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是    ．

15. 难度：中等

给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有    种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有    种，（结果用数值表示）

三、解答题

16. 难度：中等

已知（x²-）ⁿ展开式中的二项式系数的和比（3a+2b）⁷展开式的二项式系数的和大128，
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求（x²-）ⁿ展开式中的系数最大的项和系数最小的项．

17. 难度：中等

红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

18. 难度：中等

如图所示，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥DCAB∥DC，且满足
DC-DD₁=2AD=2AB=2．
（1）求证：DB⊥平面B₁BCC；
（2）求二面角A₁-BD-C₁的余弦值．

19. 难度：中等

省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=+2a+，x∈R，其中a是与气象有关的参数，且a∈]，若取每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．
（1）令t=，x∈R，求t的取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

20. 难度：中等

如图，已知椭圆C：+y²=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x²+y²-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点，且•=0．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

21. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ） 讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax³，试求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令，试证明：．