2012-2013学年广东省广州市育才中学高三（上）10月月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若p是真命题，q是假命题，则（ ）
A．p∧q是真命题
B．p∨q是假命题
C．﹁p是真命题
D．﹁q是真命题

2. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²-2x+4＞0”的否定为（ ）
A．∀x∈R，x²-2x+4≥0
B．∀x∈R，x²-2x+4≤4
C．∀x∈R，x²-2x+4≤0
D．∃x∈R，x²-2x+4＞0

3. 难度：中等

若a∈R，则“a=4”是“”的（ ）条件．
A．充分而不必要
B．充要
C．必要而不充分
D．既不充分又不必要

4. 难度：中等

下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．y=-x³
B．y=cos
C．y=x|x|
D．y=e^x

5. 难度：中等

已知向量、均为单位向量，若它们的夹角120°，则|+3|等于（ ）
A．
B．
C．
D．4

6. 难度：中等

要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位

7. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=3^x，则f（-2）=（ ）
A．
B．-9
C．
D．9

8. 难度：中等

已知且，则cos2β=（ ）
A．
B．-1
C．
D．1

9. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，a₁+a₃+a₅=105，a₂+a₄+a₆=99，以S_n表示{a_n}的前n项和，则使得S_n达到最大值的n是（ ）
A．21
B．20
C．19
D．18

10. 难度：中等

已知，各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+2=f（a_n），若a₂₀₁₀=a₂₀₁₂，则a₂₀+a₁₁的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知向量，若，则x=    ．

12. 难度：中等

首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S₄=    ．

13. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，S_n为其前n项和，若a₁=，S₂=a₃，则a₂=    ，S_n=    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）已知圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，则圆C上点到直线l：ρcosθ-2ρsinθ+7=0的最短距离为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC=4，DE=2，DF=1，则AB的长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）设α是第四象限的角，且tanα=，求f（α）的值．

17. 难度：中等

设函数f（x）=ax³+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f'（x）的最小值为-12．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

18. 难度：中等

文科班某同学参加广东省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A和获得等级不是A的机会相等，物理、化学、生物获得等级A的事件分别记为W₁、W₂、W₃，物理、化学、生物获得等级不是A的事件分别记为、、．
（1）试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的所有可能结果（如三科成绩均为A记为（W₁，W₂，W₃））；
（2）求该同学参加这次水平测试获得两个A的概率；
（3）试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于85%，并说明理由．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁₀=15，且a₃、a₄、a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：．

20. 难度：中等

已知向量，，函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的单调递增区间；
（3）说明f（x）的图象可以由g（x）=sinx的图象经过怎样的变换而得到．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x+alnx，其中a为常数，且a≤-1．
（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）在[e，e²]（e=2.718 28…）上的值域；
（Ⅱ）若f（x）≤e-1对任意x∈[e，e²]恒成立，求实数a的取值范围．